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jueves, 5 de septiembre de 2024

Los teoremas que impulsan el diseño aeronáutico moderno. El teorema de Euler permite optimizar la estructura de las aeronaves; el de Gauss, analizar la interacción de fuerzas en su superficie; las transformadas integrales son clave para su manejo; y el teorema de Bayes para mejorar su seguridad

 

Diseño de un avión de pasajeros hipersónico Mach 5, capaz de volar de New York a París en 90 minutos, cuyo lanzamiento está previsto para  2029.
Diseño de un avión de pasajeros hipersónico Mach 5, capaz de volar de New York a París en 90 minutos, cuyo lanzamiento está previsto para 2029.
La aeronáutica moderna ha transformado radicalmente la forma en que vivimos y conectamos con el resto del mundo. Las matemáticas han sido el motor silencioso que impulsa la aeronáutica desde sus orígenes hasta las alturas inimaginables de la modernidad. Para lograr un diseño eficiente y seguro de las aeronaves es necesario un conocimiento profundo de la aerodinámica, la resistencia al avance, la estabilidad y el control, en base a principios matemáticos fundamentales.

Por ejemplo, el famoso teorema de Euler  para poliedros –propuesto por el matemático suizo en 1750–, actualmente es utilizado en el diseño de estructuras aeronáuticas, como marcos y celdas, para optimizar su rigidez y resistencia. El teorema establece una relación fundamental entre los vértices, aristas y caras de cualquier poliedro convexo –en concreto, que el número de caras más el número de aristas es igual al número de vértices menos dos–. Pues bien, en la construcción de aviones ligeros y drones, esta fórmula se emplea para calcular el número mínimo de elementos estructurales –como vigas y paneles– necesarios para mantener la estabilidad y la integridad de la aeronave, teniendo en cuenta las fuerzas y las tensiones que actúan sobre ella. También es útil en el diseño de materiales compuestos utilizados en la construcción de aviones, como los llamados paneles honeycomb, ya que permite determinar la cantidad óptima de celdas hexagonales (caras) y los puntos de unión (vértices) necesarios para equilibrar la resistencia y la ligereza del material.
Primer vuelo de los hermanos Wright
Primer vuelo de los hermanos Wright
De los hombres pájaro a los hermanos Wright: las matemáticas que nos ayudaron a surcar el aire Por otro lado, en el diseño de aviones también es primordial analizar el flujo de aire alrededor de la estructura, especialmente el cálculo de las fuerzas aerodinámicas; las cuatro principales son el arrastre, la sustentación, el peso y el empuje. Para estudiar de forma detallada la interacción de estas fuerzas sobre toda la superficie del avión se utiliza el teorema de la divergencia (o teorema de Gauss). Este relaciona el flujo de un campo vectorial –que es la velocidad del aire en cada punto alrededor del avión– a través de una superficie cerrada con la divergencia del campo –que indica cómo está cambiando la velocidad del aire en cada punto, si es positiva el aire está entrando en ese punto, si es negativa está saliendo–.

Además, para poder pilotar las aeronaves, es necesario estudiar los controles de vuelo y la respuesta del aparato a diferentes fuerzas y perturbaciones. Para ello, se utilizan, entre otras cosas, las transformadas integrales –que permiten expresar una función como suma de otras, más manejables–, como la transformada de Laplace o la de Fourier. La primera se utiliza para analizar la dinámica de sistemas complejos, como las aeronaves y cohetes, sujetos a fuerzas variables en el tiempo y así comprender su comportamiento. También se emplea para modelar los sistemas de control que regulen el movimiento y la actitud de una nave de manera eficiente y precisa. Y además se aplica en el diseño de la comunicación por radio y sistemas de navegación, utilizando filtros y sistemas de procesamiento de señales para eliminar ruido y mejorar la calidad de la comunicación.

La transformada de Fourier se utiliza para descomponer una señal en sus componentes de frecuencia, lo que, en la industria aeronáutica, se aplica en el procesamiento de las señales generadas por sistemas de navegación, sistemas de comunicación y sensores a bordo, facilitando la detección del ruido e interferencias, y mejorando la calidad de las señales. Por otro lado, se ocupa para analizar vibraciones –causadas por los motores, turbulencias y cambios en las condiciones de vuelo– y descomponerlas en sus componentes de frecuencia, lo que es clave en el diseño de sistemas de amortiguación que garanticen la integridad estructural.

También es importante analizar riesgos y evaluar los sistemas de seguridad en los vuelos, para lo que se emplea el teorema de Bayes, un resultado fundamental de la teoría de la probabilidad propuesto hace más de 250 años, que establece cómo actualizar la probabilidad de un evento, después de conocer nuevos datos relevantes para el fenómeno estudiado. Por ejemplo, este teorema se aplica en el análisis de datos de accidentes aéreos y en la evaluación de factores contribuyentes, como el clima, el mantenimiento y el error humano, para mejorar la seguridad de los vuelos futuros. También para procesar las alertas de sistemas de detección de fallos en tiempo real de los aviones modernos, por ejemplo, para evaluar la probabilidad de que una alerta de sistema sea un falso positivo o un indicio real de un problema. Esto evita alarmas innecesarias que puedan distraer a los pilotos y, al mismo tiempo, garantiza que las alertas genuinas no se pasen por alto. Así, es posible estimar la probabilidad de fallas y evaluar el rendimiento de los sistemas electrónicos, mejorando la seguridad y la fiabilidad de las aeronaves.

Las matemáticas también están en la frontera tecnológica de la industria aeroespacial. Uno de los conceptos fundamentales en el desarrollo de aviones comerciales hipersónicos es la transformación de Prandtl-Glauert. Esta establece que, a velocidades cercanas a la velocidad del sonido, los efectos de comprensibilidad del aire se vuelven significativos y deben de tomarse en cuenta en los cálculos del arrastre y sustentación de la aeronave, lo que, en los cálculos para velocidades normales, no se hace. Sin duda, en cualquier avance futuro que experimente la aeronáutica, las matemáticas serán una herramienta fundamental.

Yoshua Díaz Interian es investigador predoctoral en el Instituto Politécnico Nacional (México).

Ágata Timón García-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT 

martes, 9 de julio de 2024

_- "La capacidad de jugar, no de pensar, es lo que ha sido crucial en nuestro desarrollo": Marcus du Sautoy, destacado matemático y profesor de Oxford

Jugando ajedrez.


_- "En una época más feliz, nos atrevimos a llamar a nuestra especie con el nombre de homo sapiens", escribió el eminente historiador cultural neerlandés Johan Huizinga.

Se refería al término introducido por Carl von Linné en 1758 para diferenciar a los humanos del resto de especies animales: el sapiens era el que sabe, el hombre sabio.

"Con el paso del tiempo nos dimos cuenta de que, después de todo, no somos tan razonables como el siglo XVIII, con su culto a la razón y su ingenuo optimismo, pensó".

Más tarde, se adjuntó la designación de homo faber, el hombre que hace, una que a Huizinga no le parecía la más apropiada.

Propuso homo ludens, hombre que juega, pues a su parecer, "sin cierto desarrollo de una actitud lúdica, ninguna cultura es posible".

Aunque "el juego es más viejo que la cultura", afirmó en su libro de 1938, pues por mucho que estrechemos el concepto de "cultura", presupone una sociedad humana, subrayó, "y los animales no esperaron a que los humanos les enseñaran a jugar".

Pero, entre los homo sapiens, “el juego fue parte integrante de la civilización en sus primeras fases. La civilización surge con el juego y como juego para no volver a separarse nunca más de él”.

Marcus du Sautoy, declarado entusiasta de los juegos, concuerda con la idea de que "es la capacidad de jugar, no de pensar, lo que ha sido crucial en nuestro desarrollo", como escribe en “Around the World in Eighty Games” ("La vuelta al mundo en 80 juegos", libro que está siendo traducido a español).

Es un singular recorrido inspirado en la novela de Julio Verne “de los muchos juegos locos, fantásticos y adictivos que nuestra especie ha creado”.

Se refiere a "juegos de la mente" pues, aunque declara que le fascina el fútbol, dejó fuera los que se clasifican como deportes, con una excepción: "no resistí las ganas de incluir el juego de pelota mesoamericano pitz".

En su aventura, Du Satoy revela cómo ganar en varios juegos, y cómo siempre han estado profundamente entrelazados con las matemáticas.

Tablero de juego real con incrustaciones de concha, piedra caliza roja y lapislázuli

Tablero de juego real con incrustaciones de concha, piedra caliza roja y lapislázuli

FUENTE DE LA IMAGEN,GETTY IMAGES

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Tablero de juego real con incrustaciones de concha, piedra caliza roja y lapislázuli, de alrededor del 2600-2400 a.C. Encontrado en el Cementerio Real de Ur, en el sur de Irak.

Para él, "los juegos son pasaportes a otros mundos", y su viaje no sólo es por lugares geográficos, sino por el tiempo.

Desde en el Juego Real de Ur -"es extraordinario poder jugar una partida del mismo juego que entretenía a los babilonios hace 5.000 años"- hasta el videojuego de navegador Wordle, que se convirtió en un fenómeno viral en diciembre de 2021, y en 2023 fue jugado 4.800 millones de veces.

Pero partamos por el principio...

Las reglas del juego

Una pregunta que se han hecho varios pensadores es por qué jugamos.

Algunos, cuenta, han postulado que al entender que el Universo estaba regido por reglas, empezamos a crear juegos como espacios seguros para explorarlas.

Otros han sugerido que en realidad es una herramienta para explorar nuestros mundos internos.

"Creo que quizás el elemento más importante es ese elemento social, porque los humanos somos una especie altamente social", dice Du Sautoy.

"Nuestra conciencia exige que tratemos de explorar la mente del otro porque yo tengo un mundo interno, y supongo que tú también. Pero si estamos sintiendo dolor, ¿es tu dolor parecido a mi dolor, tu éxtasis, el mismo?

"Por lo tanto, necesitábamos herramientas para tratar de explorar nuestros mundos internos, y los juegos son un lugar muy interesante y seguro para hacerlo.

"Y si lo piensas, un juego casi necesita una teoría de la mente. Tienes que entender que la persona que está sentada frente a ti tiene una mente diferente a la tuya y tomará decisiones distintas. Tienes que pensar: 'si hago esto, ¿qué harán ellos? '. Ese es un nivel muy sofisticado de proceso de pensamiento.

"Así que quizás los juegos son tan importantes para nuestra especie debido a nuestra conciencia".

Marcus du Sautoy

Marcus du Sautoy

FUENTE DE LA IMAGEN,CORTESÍA DE MARCUS DU SAUTOY

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Para Du Sautoy jugar "se superpone con lo que disfruto de las matemáticas": el reto de resolver un problema limitado por unas reglas, la necesidad de superar obstáculos y la satisfacción de la victoria al hallar la solución. Pero hay otra pregunta importante: qué es un juego.

"Definir lo que es un juego ha sido una cuestión filosófica muy profunda, que a (Ludwig) Wittgenstein le interesaba mucho", comentó Du Sautoy en conversación con BBC Mundo.

El destacado filósofo austriaco (1889-1951), que se especializó en lógica, la filosofía de las matemáticas, la mente y el lenguaje, "creía que era impo sible definir qué es un juego".

"'Juego' era su ejemplo principal de una palabra que sólo podía ser entendida a través del acto de usarla: eso es un juego, eso no lo es", explica Du Sautoy en su libro.

Sin embargo, le dijo a BBC Mundo, "algo en lo que podemos estar de acuerdo es en que el juego tiene un conjunto de reglas y, en cierto modo, cada vez que juegas, exploras las consecuencias de esas reglas y tratas de optimizar la manera de alcanzar un objetivo".

Añadió que "una de las cosas hermosas de los juegos, y es algo que algunos antropólogos y filósofos han tratado de incluir en la definición de un gran juego, es que debe estar separado de la vida real, tener sus propios tiempos y su propio sentido del lugar.

"Esa separación es importante: aunque pueden ayudarte a entender las cosas de la vida real, de alguna manera te sales de ella y pasas un rato en ese mundo imaginario del juego.

"Es similar a la música, con su propio tipo de mundo autónomo al que escapas o en el que te sumerges, y a las matemáticas, que aunque nos ayudan a comprender el mundo físico que nos rodea, son un mundo aparte y pueden crear universos que no tienen nada que ver con la realidad física, pero siguen siendo emocionantes de explorar por su propia belleza interior".

En su caso, eso los hace irresistibles.

"Los juegos, para mí, son una forma de jugar a las matemáticas".

Tablero de serpientes y escaleras antiguo

Tablero de serpientes y escaleras antiguo

FUENTE DE LA IMAGEN,NOMU420

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Serpientes y escaleras es un antiguo juego indio, con una lección moral: tenía más serpientes, que eran el mal, y las escaleras eran virtudes que llevaban a la salvación. (Gyan chauper o juego de sabiduría, Museo Nacional, Nueva Delhi) 

Las matemáticas son ideales para calcular las implicaciones de reglas, así que son un aliado muy natural.

Y están presentes de innumerables maneras en los juegos, así no siempre sea obvio.

En juegos como serpientes y escaleras, en el que ninguna la estrategia sirve para ganar, las matemáticas son importantes en el diseño del juego.

"Tienes que decidir cuántas serpientes y escaleras vas a tener. Con demasiadas serpientes, el juego será imposible de ganar, pero demasiadas escaleras, y tal vez termine demasiado rápido.

"Y hay una forma matemática de analizar un juego como ese y muchos otros, en los que lanzas dados y te mueves por el tablero, para calcular cuánto tiempo se tarda en ganar el juego".

Sin embargo, ese tipo de juegos o los de azar no son los favoritos del matemático.

¿Los mejores?

Du Sautoy confiesa que le encantan los juegos de estrategia pura, "y tengo una ventaja increíble porque mis habilidades matemáticas me permiten ganarlos a menudo".

"Pero mis hijos ya no juegan conmigo esos juegos: prefieren alguno en el que tengan más posibilidad de ganar, y eso es importante.

"Es más, yo diría que la incertidumbre es absolutamente esencial para el juego".

Esa es una de las 5 características que identificó para establecer cuáles son los mejores juegos.

  • Un juego nunca debe terminar antes de haber comenzado. Así no seas tan bueno como tu oponente, debe existir una posibilidad de que aún puedas ganar.
  • Es muy importante que el juego no termine antes del final. Los mejores juegos son aquellos en los que hasta el último momento existe la posibilidad de que cualquiera gane.
  • Aunque debe haber un elemento de azar en un juego, éste debe basarse en la estrategia y la agencia. Si no hay estrategia, el jugador se convierte en poco más que una máquina que implementa las reglas del juego.
  • Los mejores juegos son aquellos con reglas simples que dan lugar a resultados complejos, ricos y variados.
  • Un juego necesita una buena historia. No significa que tengas que tener castillos y duendes, pero debe haber una narrativa subyacente agradable que puede ser abstracta.

Tablero de backgammon

Tablero de backgammon

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Backgammon, una combinación ganadora. Uno de los juegos que incorpora todas esas cualidades, apunta Du Sautoy, es backgammon.

"Es uno de los más antiguos y uno de los primeros juegos de carreras.

"Combina esas hermosas cualidades de tener un poco de incertidumbre y aleatoriedad debido a los dados, pero incluso si tiras mal los dados, aún puedes usar la estrategia para ganar.

"Tiene una buena narrativa, porque la historia puede cambiar dramáticamente: piensas que estás ganando y de repente te capturan una pieza y te devuelven al principio, y tu oponente comienza a ganar. Eso te involucra en el drama del juego".

Pero hay otro más nuevo que declaró como uno de los mejores: Los colonos de Catán, que ha vendido decenas de millones de copias desde su debut en 1995.

El objetivo es poblar una isla formada por 19 azulejos en forma de hexágono. Los jugadores tiran dados y compiten por territorio mientras construyen ciudades e intercambian recursos.

"Un buen juego es también aquel en el que todo el mundo está involucrado todo el tiempo.

"Algunos juegos te dejan esperando mientras los otros hacen sus movimientos. En Catán, incluso cuando otro está haciendo su jugada, puede generar cosas sobre las que tienes que tomar una decisión, y así todos están jugando en todo momento del juego".

Catán fue concebido por Klaus Teuber, un técnico dental en Alemania, un país que du Sautoy llama "la Meca moderna de los juegos".

La ciudad de Nuremberg y su “tradición de fabricación de juguetes”, dice, así como la prohibición en la Alemania posnazi de importar juguetes de guerra, “actuaron como catalizador para una corriente de juego completamente nueva”.

La vuelta al mundo en 5 juegos

Finalmente, le pedimos a Du Sautoy que nos llevara en un viaje: una vuelta al mundo en 5 juegos, sin pasar por Europa ni el norte de Norteamérica.

Y aceptó el reto, entusiasmado.

Arriba: el príncipe Siddhartha y un demonio juegan al ajedrez. Abajo: un grupo de damas de palacio jugando 'Go' en la Ciudad Prohibida, Beijing, Dinastía Ming.

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Arriba: el príncipe Siddhartha y un demonio juegan al ajedrez. Abajo: un grupo de damas de palacio jugando 'Go' en la Ciudad Prohibida, Beijing, Dinastía Ming.

"India es uno de mis lugares favoritos, pues muchos juegos maravillosos salieron de allá.

"Hay una conexión entre una cultura que ama sus matemáticas y ama sus juegos, y no creo que sea coincidencia.

"Elijo el ajedrez porque es uno de los grandes juegos de estrategia que se nos han ocurrido, y parece tener sus orígenes en India.

"Pero era un juego muy diferente: tenía 4 jugadores, con 4 ejércitos, y tenías que capturar el ejército de otra persona y hacerlo tuyo. Por eso, ahora hay dos torres, dos caballos y dos alfiles; es la fusión de dos ejércitos diferentes.

"Luego, ¿qué tal si vamos a China? Probablemente me decantaría por Go, que es otro de los grandes juegos de estrategia.

"Pero es un estilo diferente de guerra, porque en el ajedrez tienes mucho combate cuerpo a cuerpo a través de tus piezas, noqueando al caballo y derribándolo del tablero, mientras que el Go se juega en un tablero de 19x19, y poco a poco vas reclamando territorio.

"Es una guerra más lenta. Y creo que eso es interesante, porque refleja el carácter diferente entre India y China.

Arriba: un partido de Mancala en África. Abajo: la posición inicial de las fichas del juego Adugo.

FUENTE DE LA IMAGEN,GETTY IMAGES/LIFE OF RILEY

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Arriba: un partido de Mancala en África. Abajo: la posición inicial de las fichas del juego Adugo. "Si tuviera que elegir un tercer gran juego de estrategia, ese sería Mancala del continente africano.

"Parece que tiene unos 6.000 años de antigüedad. Son pequeños pozos que están llenos de piedras, semillas o canicas, las cuales recoges y 'siembras' en otros pozos, intentando capturar gradualmente más piezas que tus oponentes.

"Es realmente un hermoso, simple pero complejo juego, que, creo, representa no tanto la guerra, sino la capacidad de hacer un buen trueque.

"Ahora, América del Sur fue un reto interesante:

"Me esforcé mucho por encontrar juegos anteriores a la llegada de los conquistadores, pues muchos tienen sus orígenes en Europa.

"Entre ellos, hay uno con una cualidad muy interesante llamado Adugo, que significa jaguar (en la lengua de la tribu bororo en la región pantanal de Brasil).

"Es un poco como las damas, pero lo llamativo es la asimetría en el juego, porque sólo hay una pieza es negra y puede moverse de forma muy dramática por el tablero, mientras que las piezas blancas sólo pueden moverse un paso.

"El desafío es que el jaguar negro está siendo perseguido por los perros blancos, que lo tienen que atrapar; el jaguar tiene que saltar sobre los perros y básicamente matarlos.

"Me pareció fascinante pues no había visto la idea de asimetría.

"Nos falta un 5° juego. ¿Vamos a Australasia, a Nueva Zelanda?

"Allá tuve también el reto de encontrar un juego anterior a la llegada de los europeos, y hallé uno maorí llamado Mu Torere.

"Se juega en un sobre un diseño que parece una estrella, y tiene una estrategia muy interesante, que los jugadores maoríes conocían muy bien, por lo que siempre podían vencer a los europeos que retaban".

¡Ahí la tienes: la vuelta al mundo en 5 juegos! 

martes, 16 de enero de 2024

MATEMÁTICAS. El agobio ante una ecuación: los alumnos españoles se contagian de la ansiedad matemática de maestros y familias.

"Para aquellos que no conocen las matemáticas, es difícil sentir la belleza de la naturaleza.  Si quieres apreciarla, es necesario aprender el lenguaje en el que habla"
Richard Feynman, físico norteamericano. (11-5-1918, Queens, Nueva York /11-2-1988 Los Ángeles, California)


El mundo de los números angustia al 37% de los escolares examinados en PISA y afecta más a las chicas. En las universidades, cada vez más cursos se acercan al plano socioafectivo de esta asignatura clave

El desarrollo de la ley Celaá planteó en 2021 un acercamiento “socioafectivo y de género” a las matemáticas y llovieron las chanzas en los medios de comunicación, las redes sociales (“Mamá, la integral y yo somos pareja”, ironiza un tuit) y entre los políticos de derechas. Sin embargo, las pruebas de diagnóstico educativo del informe PISA, hechas públicas en diciembre, han puesto de manifiesto que existe un gran problema de ansiedad matemática que sufren no solo los 31.000 examinados en España ―el 37% de estos escolares de 15 o 16 años dijo padecerla, frente al 17% de media en la OCDE―, sino la sociedad en su conjunto. España se posiciona así como el segundo país con el porcentaje de ansiedad más alto de Europa, solo por detrás de Italia (39%), frente al 14% en Portugal o el 12% en Dinamarca. Diversos estudios internacionales demuestran que muchos padres que se consideran “de letras” contagian su desazón a los hijos, que se agobian delante de una ecuación, y muchos maestros (sobre todo ellas) reconocen su temor de enseñar, por ejemplo, cálculo o geometría en 5° o 6° de primaria. Por eso, cada vez más iniciativas tratan de poner freno a esta angustia entre maestros, estudiantes de Educación y familias interesadas.

“Si soy profesora de primaria y estoy dando clase de Ciencias Sociales y digo ‘pero luego hay que hacer mates’, transmito la actitud de que a mí tampoco me apetece mucho”, reflexiona la ingeniera Belén Palop, profesora de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad Complutense de Madrid. “Y luego tenemos la parte de que si un niño suspende Lengua o Música está mal, pero si es Matemáticas se disculpa: ‘No pasa nada cariño, a mí tampoco se me daba bien’. Socialmente está permitido. Colocamos en otro lado las mates”.

El 46% de los escolares españoles expresaron en el cuestionario de PISA que les causaba “mucha tensión” los deberes de Matemáticas e “indefensión” al 39%, mientras que al 76% le preocupaba sacar mala nota en esta asignatura. Los países con bajas tasas de ansiedad han obtenido buenos resultados matemáticos en PISA (Corea), Suiza o Estonia.

El ansia paraliza más a las chicas (un 50% más), que en sus valoraciones demuestran siempre menos autoconfianza que ellos ―aunque sean ellas las que han hecho bien el ejercicio― y rinden menos ante la presión de los exámenes. Su inseguridad las lleva también ―pese a que abandonan menos los estudios y sacan mejor expediente― a no decantarse por carreras técnicas, que suelen tener unos sueldos más altos que los de las ramas de las ciencias sociales y humanidades.

Para mejorar en matemáticas es necesario no creer que ser bueno es un don innato e invariable. Lo que los expertos llaman tener “mentalidad de crecimiento”, es decir, sostener que las habilidades y la inteligencia de uno se puede desarrollar con el tiempo. “Los españoles tenemos una mentalidad de crecimiento en el deporte ―si sales a correr, mejoras tu forma física―, en la alimentación… y absolutamente fija en las matemáticas”, prosigue Palop. “Soy así. No las entiendo ni las entenderé. Con seis años, se dice: ‘No eres bueno en matemáticas’; cuando en inglés te dirían que aún no le has cogido el tranquillo”.

En 2012, Patricia Pérez Tyteca analizó para su tesis doctoral el nivel de ansiedad matemática que mostraban los alumnos de la Universidad de Granada en carreras que incluían esta materia. No era un drama en Estadística, ingenierías, Química o Arquitectura. Mientras que expresaban una “ansiedad media” los que cursaban Biología, el doble grado de Ciencias Políticas y Derecho (que incluye mucha estadística) y Educación Primaria; y una “ansiedad medio-alta” los inscritos en Geología, Enfermería y Educación Infantil. Este desasosiego de los futuros maestros alarma a Pérez Tyteca y a todos los expertos. “Son los sujetos que se encargarán de la educación matemática de los niños, debiendo inculcarles el gusto y la sensación de comodidad con la materia tan fundamental a la hora de evitar futuros problemas de ansiedad”, subraya en su tesis la hoy profesora de la Universidad de Alicante.

Las iniciativas para quitar la ansiedad a los docentes no son nuevas, pero sí se van multiplicando, porque la ley Celaá explicita la necesidad de trabajar el sentimiento socioafectivo como uno de los seis bloques del currículo de matemáticas, pero los manuales de texto no explican cómo y los maestros, ya per se temerosos, tienen muchas dudas.

Las adolescentes ya no esconden que quieren ser ingenieras

Rocío Garrido, vicedecana de Ordenación Académica de la Facultad de Educación de la Universidad Autónoma de Madrid, imparte talleres desde 2018. Empezaron “haciendo acompañamiento” a los maestros y con el tiempo se han abierto a los estudiantes de los grados de Educación y a los claustros de colegios públicos y privados de la capital. Están al quite de quien expresa su ansiedad. Incluso, dos veces al mes celebran Picamates, un evento al que puede ir cualquiera que esté interesado. “En un contexto mucho más informal, ponemos algo de picoteo, llevamos juegos, materiales de papiroflexia, elementos de realización de 3D o escape rooms, nuestra acción estrella”. Garrido está convencida de que en un ambiente más distendido “es más fácil dejarse llevar, olvidarse de la frustración y buscar la solución matemática”. Pero en Picamates ponen a las personas “en contextos de frustración para poder acompañarlas”.

“Todo lo socioafectivo está muy manido porque estamos relacionando trabajarlo con bajar el nivel”, se lamenta Garrido. “Nosotros creemos que incluso se puede subir el nivel con ese acompañamiento socioafectivo [a los profesores]”. La vicedecana cree que esta es una formación “insuficiente y aislada”, pues la UAM la hace “de forma altruista: no está reglado”.

Curiosidad, admiración y seguridad

En la Universidad Complutense, sin embargo, Palop sí ha logrado, junto al profesor y mago Nelo Maestro, incluir un programa sin notas para los alumnos de primer curso del grado de Educación que ha tenido gran éxito. Tanto, que se plantean abrir un segundo grupo más adelante. “Vamos buscando el acrónimo CASA: curiosidad, admiración, seguridad y alegría. Queremos que se frustren, que se peleen con los problemas, pero que vean esa parte bonita de las matemáticas. Y esto, ¿por qué pasa?”, razona. Porque, sostiene, cualquiera puede mejorar en una disciplina. “Nadie va al gimnasio y, porque el primer día no pueda con las pesas, piensa que no sirve. ¿Y por qué sí con las matemáticas”.

Garrido y Palop se deshacen en elogios ante el desarrollo del nuevo currículo de matemáticas de Aragón, que plantea muy bien ese acercamiento socioafectivo. En esa comunidad se crearon grupos mixtos de profesores en activo de colegios, institutos y la Universidad de Zaragoza. Su currículum no solo enumera los saberes y competencias que hay que dominar, sino todo tipo de actividades para lograrlo y artículos y webs de referencia. “En primaria y secundaria se hace mucho énfasis en actividades de medida. Se le da sentido a la fracción midiendo tiras de papel. A partir de ahí, se comparan, se agregan…”, pone de ejemplo Pablo Beltrán-Pellicer, profesor de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad de Zaragoza. “Desde el punto de vista socioafectivo, se trabaja en grupo, que no en equipo. No hay un resultado final cooperativo, sino que se ayudan entre ellos, hablan de matemáticas… todos participan”.

“Las cosas que se recogen en el socioafectivo ya están recogidas en currículos anteriores. Lo que pasa es que estaban en un bloque de contenidos transversal que se ignoraba bastante”, reconoce Beltrán-Pellicer. El investigador ve “ciertas reticencias” en los alumnos y profesores a “cambiar la cultura del aula” que comprende, acostumbrados a “esperar la explicación del profe y limitar. No es fácil”.

En el plano familiar, Beltrán-Pellicer alaba el proyecto del Servicio de Orientación Educativa del Gobierno de Canarias, que desde 2018 celebra talleres formativos presenciales para padres. En ellos, los profesores les cuentan lo que ven en clase con sus hijos: resolución de problemas, algoritmos flexibles en primaria o álgebra manipulativa en secundaria, convencidos de que la familia y la escuela no pueden trabajar de forma aislada.

viernes, 3 de noviembre de 2023

El número de alumnos de Informática y Matemáticas se dispara sin plantilla suficiente para formarles.

Las condiciones laborales para los profesores no son competitivas y las tesis han caído un 40% desde 2015, al tiempo que los estudiantes han crecido un 30% con la explosión de la ciencia de datos y la inteligencia artificial.

La demanda de matemáticos e informáticos no para de crecer en el mundo y en España pasa factura desde hace años a los institutos ―se quedan plazas desiertas porque no opositan a estos perfiles― y cada vez afecta más a las universidades, que se las ven y se las desean para contratarles. Los centros públicos no pueden competir en sueldos y los privados se ven forzados a pagar grandes sumas. El problema va a crecer, pues mientras... seguir en El País.

jueves, 12 de octubre de 2023

La revolución matemática que se gestó en una granja de ovejas

Ventana al Conocimiento
Periodismo Científico
Tiempo 4 de lectura

El joven Newton retornó a los 23 años a su pequeña aldea natal de Woolsthorpe, en Lincolnshire (Inglaterra), huyendo de la peste bubónica que provocó el cierre de la Universidad de Cambridge y que llegó a matar a la quinta parte de la población de Londres. Y en la granja de ovejas de su familia, sin apenas contacto con el mundo exterior, realizó una de las hazañas intelectuales más asombrosas de la historia.
Retrato de Isaac Newton, una copia de una pintura de Sir Godfrey Kneller. Fuente: Wikimedia

En tan solo dos años, de 1665 a 1666, Newton desarrolló simultáneamente el cálculo diferencial e integral, además de sus teorías sobre la naturaleza de la luz y sobre la fuerza de la gravedad. Las nuevas herramientas matemáticas y físicas ideadas por el inglés en aquel corto periodo revolucionaron la ciencia de su época y son la base del mundo tecnológico actual.

El cálculo infinitesimal, aunque se engloba estrictamente en el ámbito matemático, ha resultado ser un lenguaje poderoso que permite describir las leyes de la naturaleza con una precisión asombrosa. Con las ideas de Isaac Newton (25 de diciembre de 1642 – 20 de marzo de 1726, según el calendario vigente entonces en Inglaterra) hoy se estudian el movimiento de nubes, los mares, las órbitas de satélites, las infecciones víricas, el diseño de vehículos, el crecimiento económico…

Newton concibió dos conceptos matemáticos revolucionarios: el de derivada e integral. La derivada se relaciona con la evolución en el tiempo de magnitudes como la velocidad y la aceleración. Es una tasa de cambio instantánea, que indica de qué manera (cómo de rápido) se están modificando las magnitudes. En geometría, la derivada permite calcular las pendientes de curvas y, en consecuencia, la recta tangente a una curva dada.

Por otro lado, la integral se emplea para calcular áreas y volúmenes, así como encontrar centros de gravedad de cuerpos. Lo sorprendente es que ambas nociones están relacionadas por una de las más bellas expresiones de las matemáticas, el teorema fundamental del cálculo infinitesimal, que afirma que la derivación y la integración son operaciones inversas; es decir, al aplicarlas sucesivamente se vuelve al valor de inicio.
La granja de la familia de Newton, en Woolsthorpe. Crédito: Hel-hama 

En 1669 Newton entregó a su mentor, Isaac Barrow, un manuscrito, De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, en el que aparecen por primera vez las bases del nuevo cálculo diferencial. En él, Newton expone un método aproximado para resolver ecuaciones, hoy llamado método de Newton-Raphson y enuncia y demuestra una fórmula para calcular para el área encerrada por una parábola generalizada. Esta expresión ya había sido hallada antes por otro matemático inglés, John Wallis (1616-1703), pero la novedad introducida por Newton radicaba en las técnicas usadas, que él llamaba “método de las fluxiones” y el “método del inverso de las fluxiones”.

MATEMÁTICAS PARA ESTUDIAR EL MOVIMIENTO

Su trabajo era, en la práctica, la primera aplicación del teorema fundamental del cálculo infinitesimal a un ejemplo concreto, que mostraba que los métodos de las tangentes (derivadas) y las cuadraturas (áreas, es decir, integrales) estaban inversamente relacionados entre sí.

La obra más importante de Newton en este tema fue De methodis serierum et fluxionum, publicada póstumamente en 1736. Allí introducía el concepto de fluente, como cantidad que varía respecto al tiempo, y el de fluxión, como su velocidad o la derivada con respecto al tiempo. Newton, además, desarrolló los algoritmos para el cálculo de fluxiones: las que actualmente conocemos como reglas para derivar sumas, productos, cocientes…, que estudiamos en los primeros cursos de bachillerato.

 También mostró cómo calcular el área de una curva, lo que actualmente se llama calcular la primitiva de una función (y que en su terminología era “obtener la fluente de una fluxión”). Asimismo, Newton aplicó su recién creado cálculo a problemas de máximos y mínimos. Y así logró resolver, uno a uno, los problemas que habían inquietado a todos sus antecesores: científicos como los italianos Bonaventura Cavalieri y Evangelista Torricelli; los franceses Gilles de Roberval, René Descartes, Pierre de Fermat, entre muchos otros, habían realizado trabajos en esa línea, dedicados a resolver problemas concretos de la física, pero sin haber llegado a encontrar una solución general como hizo Newton.

Sus dos nuevas herramientas (derivada e integral) se sumaban a las operaciones elementales de las matemáticas y eran idóneas para analizar el movimiento — y, por tanto, casi todos los fenómenos físicos. En base a estas ideas, Newton desarrolló toda una matemática nueva, el análisis matemático, que hoy en día sigue siendo una de las ramas más activas en la investigación.

UNA AMARGA POLÉMICA CIENTÍFICA
Sin embargo, el joven Newton no puso mucho empeño en difundir sus resultados. Aunque entregó su primer tratado a Isaac Barrow en 1669 y enviaron algunas copias a diferentes círculos matemáticos de Inglaterra, no fue publicado formalmente hasta 1711. Mientras tanto otro matemático, Gottfried Leibniz, había desarrollado una teoría equivalente. Cuando Newton recibió noticias de estos trabajos, tardó poco en reclamar su autoría del cálculo infinitesimal, lo que dio lugar a una amarga polémica que involucró incluso a sociedades científicas.

Lo cierto es que es posible que ambos llegaran a ideas parecidas en el mismo período. Ya a principios del siglo XVII se habían empezado a desarrollar métodos matemáticos que involucraban procesos infinitos para calcular áreas delimitadas por curvas o volúmenes, o para encontrar máximos y mínimos de ciertos problemas. El propio Newton admitió, en una carta a su colega (y rival) Robert Hooke: “Si he logrado ver más lejos, ha sido porque he subido a hombros de gigantes”.

Modestia aparte, el genio de Newton dejó una huella imborrable en el desarrollo de la civilización moderna, y su figura intelectual no ha tenido un igual, tal y como se lee en su epitafio: “¡Mortales, congratulaos de que un hombre tan grande haya existido para honra de la raza humana!”.

David Martín de Diego y Ágata Timón

martes, 25 de julio de 2023

Joseph Fourier, el matemático reclutado por Napoleón que disparó su propia revolución cuando se enamoró del calor. Marcus du Sautoy, matemático

Joseph Fourier

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Pie de foto,

La revolución francesa le permitió brillar a Fourier.


El calor cambió su vida y la de los que vinimos después.

En marzo de 1798 el matemático Joseph Fourier recibió una misteriosa citación del Ministerio del Interior de la Francia posrevolucionaria:

"Ciudadano: el directorio ejecutivo, que tiene una necesidad particular de sus talentos y de su fervor, acaba de disponer de usted por el bien del servicio público. Debe prepararse y estar listo para partir apenas reciba la orden".

Dos meses después, Fourier zarpó hacia Egipto, reclutado por Napoleón Bonaparte junto con 30.000 soldados y más de 100 académicos, pues Napoleón creía que el poder intelectual era tan importante como el poderío militar.

Y Fourier era un joven republicano que creía que los matemáticos nunca deberían olvidar su papel como sirvientes de la revolución francesa.

Para él, el valor real de las matemáticas era su utilidad para la sociedad. Y su innovadora Teoría del Calor efectivamente resultó ser muy útil: condujo a una nueva forma de entender no solo el calor, sino también la luz y el sonido.

Innoble
Joseph Fourier, el hijo huérfano de un sastre, descubrió el mágico mundo de las matemáticas cuando era un adolescente.

En su internado militar, recogía cabos de velas para poder estudiar en la noche mientras los otros niños roncaban.

Sabía que era bueno, y se comparaba con los mejores:

"Ayer cumplí 21 años; a esa edad Pascal y Newton ya habían alcanzado varias veces la inmortalidad", señaló.

Quiso unirse al ejército, pero su solicitud fue denegada.

"Fourier, por no ser noble, no puede ingresar a la artillería así sea el mejor después de Newton".

Pero la revolución francesa de 1789 —que él apoyó— cambió todo.

La aritmética republicana

La revolución francesa le permitió brillar a Fourier.

La nueva república en Francia fundó nuevos centros de aprendizaje para cultivar a los nuevos pensadores de esa era revolucionaria; algunos incluso tenían su propio uniforme militar.

El único criterio para elegir a los estudiantes era la inteligencia y el conocimiento. A nadie —se pensaba— se le debía negar un lugar por falta de fondos.

Y de todas las disciplinas, las matemáticas y la ciencia eran las más apreciadas.

La enseñanza de la "aritmética republicana" era elogiada.

"Ciudadano: la revolución no solo mejora nuestra moral y allana el camino para nuestra felicidad y la de las generaciones futuras, sino que además libera el progreso científico de los grilletes que lo frenan".

El talento de Fourier, no solo como matemático sino también como maestro, no pasó desapercibido.

Fue nombrado director de educación matemática en la nueva École Polytechnique, donde por primera vez fue posible recibir clases de matemáticas enseñadas por quienes las estaban creando.

Las conferencias matemáticas eran un espectáculo. Los profesores tenían que dar sus conferencias de pie, sin notas ni un escritorio tras del cual esconderse. El diálogo y el debate entre el profesor y los estudiantes era más que bienvenido.

En ese ambiente, Fourier, en particular, prosperó gracias a que tenía "una voz fuerte y es activo, ingenioso y muy erudito", según su tutor Joseph-Louis Lagrange, el matemático y astrónomo de la Era de la Ilustración italiana.

Bajo el sol del desierto

La batalla de las Pirámides, 21 julio 1798, puso fin a 700 años de mandato mameluco en Egipto.

Las habilidades oratorias de Fourier, que habían sido utilizadas para defender la revolución política, fueron luego empleadas en la propagación de una revolución matemática.

Gracias a ello, Napoleón se enteró de su existencia y recibió esa misteriosa convocatoria para zarpar hacia Egipto.

Pero tras la Batalla de las Pirámides, Napoleón regresó a Francia y Fourier quedó varado en El Cairo.

En 1799, ayudó a descubrir la Piedra de Rosetta en el medio del desierto egipcio.

Fue allá donde Fourier se enamoró... del calor. No solo las matemáticas que escondía sino de los fantásticos poderes medicinales que estaba convencido que tenía.

Cuando regresó, sus amigos lo encontraron sentado en su habitación sobrecalentada en Grenoble, en el sur de Francia, envuelto como una momia egipcia, sudando, y pensando cómo explicar exactamente cómo se mueve el calor a través del espacio.

La piedra de Rosetta es un fragmento de una antigua estela egipcia de granodiorita inscrita con un decreto publicado en Menfis en el año 196 a. C. en 3 idiomas —jeroglíficos egipcios, griego antiguo y escritura demótica— fue clave para el entendimiento moderno de los jeroglíficos egipcios.

¿Cómo se mueve el calor de un sitio al otro? Incluso antes de responder a la pregunta que él mismo se había planteado, Fourier anticipó cuán importante sería la respuesta, no solo para comprender el calor, sino para toda la física:

"El calor, como la gravedad, penetra en todas las sustancias del Universo, sus rayos ocupan todas las partes del espacio. El objetivo de nuestro trabajo es establecer las leyes matemáticas a las que este elemento obedece. La teoría del calor formará a partir de ahora una de las ramas más importantes de la física general".

Su predicción fue acertada.

La comprensión matemática de Fourier de cómo se mueve el calor nos ha permitido comprender cualquier cosa que pueda describirse como una onda, como el sonido y la luz.

La gran idea de Fourier fue que cada onda, por compleja que fuera, podía explicarse como la suma de muchas ondas sinusoidales.

Las ondas sinusoidales son las ondas más simples que existen: si las dibujas en un papel, son una serie de curvas suaves, regulares, que suben y bajan.

Y la onda de sonido más simple que existe es el sonido puro de un diapasón.

El sonido puro del diapasón se usa como referencia para afinar instrumentos musicales.

El sonido de una trompeta, por ejemplo, es más complicado.

La forma de sus ondas se parece al borde de sierra o una cadena montañosa con innumerables picos de diferentes inclinaciones y alturas.

Fourier creía que si podía entender a fondo todas estas diferentes formas de onda, si de alguna manera pudiera relacionarlas, una con otra, descubriría algo importante. Estaba buscando los principios subyacentes que determinan sus muchas formas diversas.

Y su revelación fue esta: cada forma de onda, sin importar cuán complicada y abigarrada, se puede dividir en un conjunto básico de ondas sinusoidales simples y lisas.

O, dicho de otra manera, si uno "suma" muchas ondas sinusoidales simples de diferentes frecuencias (es decir, curvas con los baches más o menos montados juntos) puede reproducir el perfil irregular de la onda de la trompeta.

Su revelación fue que todas las ondas, incluso una complicada como la de la trompeta (en rojo) se puede expresar con una serie de ondas sinusoidales simples (azul).

De eso se trataba la pionera Teoría del Calor de Fourier: explicaba cómo se relacionan todas las ondas entre sí.

"Las matemáticas comparan los fenómenos más diversos y descubren las analogías secretas que los unen", dijo.

Su análisis es una brillante pieza de matemática pura.

¿Qué sucedió con la idea?
Cuando publicó por primera vez su Teoría Analítica del Calor, se encontró con una fuerte oposición.

Muchos colegas académicos se mostraron escépticos. Les parecía imposible que las ondas sinusoidales lisas pudieran llegar a producir ondas complicadas, filodentadas como, por ejemplo, las de una trompeta.

Pero Fourier continuó trabajando en su tratado hasta que publicó la versión final en 1822.

Pasó tiempo antes de que los logros de Fourier fueran reconocidos, pero cuando lo fueron, no hubo quien frenara las alabanzas.

Uno de los más respetados físicos, Lord Kelvin, cuyo nombre se usó para nombrar la unidad científica moderna de la temperatura, declaró:

"El de Fourier no solo es uno de los más bellos resultados del análisis moderno, sino que además proporciona un instrumento indispensable en el tratamiento de casi todas las preguntas recónditas en la física moderna. Fourier es un poema matemático".

El calor dio fruto en "sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor", según Wikipedia.

Como predijo Fourier, su teoría formó una de las ramas más importantes de la física general.

No solo abarca cualquier fenómeno que pueda describirse como una onda sino que nos da una forma de pensar acerca de estos fenómenos del mundo muy real.

Es la razón por la que funciona tu radio o tu reproductor de música, entre otras cosas.

Los algoritmos sencillamente le dicen al altavoz que vibre para crear todas las ondas simples sinusoidales que componen un sonido particular. Al sonar simultáneamente, estas ondas simples pueden recrear milagrosamente toda una orquesta.

Su investigación sobre ese calor que lo cautivó en el desierto egipcio condujo a una de las ideas matemáticas más potentes de todos los tiempos —la gramática de las formas de onda— confirmando una de sus creencias:

"El estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos".

lunes, 24 de julio de 2023

_- El enigma resuelto hace 300 años por el matemático Leonhard Euler que hoy nos permite acceder a internet

_- Marcus du Sautoy, matemático
El matemático y físico suizo Leonhard Euler (1707-1783)

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Pie de foto,

El matemático y físico suizo Leonhard Euler (1707-1783) hizo descubrimientos en una amplia gama de campos, incluyendo geometría, cálculo infinitesimal, trigonometría, álgebra, teoría de números, física de continuum, teoría lunar y teoría de grafos, para nombrar unos pocos.

El desafío matemático anual presentado por la Academia de Ciencias en París en 1727 fue este: "¿Cuál es la mejor manera de organizar mástiles en un barco?"

A primera vista es un problema muy práctico, pero el joven matemático suizo Leonhard Euler lo abordó como un rompecabezas puramente matemático.

A pesar de nunca haber puesto un pie a bordo de un barco, se sintió perfectamente calificado para calcular la disposición óptima de los mástiles.

"No me pareció necesario confirmar esta teoría mía con experimentos porque se deriva de los principios más seguros de las matemáticas, por lo que no cabe duda alguna de si es o no cierta y funciona en la práctica", declaró.
 
Leonhard Euler tenía una fe absoluta en las matemáticas. Su legado que llega hasta hoy

Este es otro de los "recreos" de Euler: el problema de 36 oficiales. Euler preguntó si seis regimientos, con hombres de seis rangos diferentes, podían organizarse en un cuadrado de 6x6 para que cada fila y columna no repitan un rango o regimiento. Conocido como un cuadrado greco-latino, esta es una forma de combinatoria. Euler dijo que no había solución para este problema, pero esto no se demostró hasta 1901. En 1960, se demostró que todos los cuadrados greco-latinos, excepto los casos 2x2 y 6x6, se pueden resolver.

Euler es uno de los matemáticos más prolíficos de todos los tiempos. ¡Hay tantas ideas matemáticas que llevan su nombre! 50 años después de su muerte, su trabajo aún se estaba publicando. Reformó casi todas las áreas de las matemáticas.

Y, como si fuera un hobby, resolvió el problema de los siete puentes de Königsberg, un popular enigma del siglo XVIII.

"Para Euler resolver el problema fue una forma de entretenimiento, era algo intrincado y ameno que hacer", le dijo a la BBC el experto en tecnología Bill Thompson.

"Por supuesto él no tenía idea de cuánto aprovecharíamos su trabajo, cómo construiríamos sobre sus ideas ni de que usaríamos lo que nos dejó para crear y ejecutar una red que ha cambiado el mundo por completo".  Se refiere a internet.

Para Euler fue solo un juego, pero las matemáticas que creó para resolverlo se usan para hacer que los motores de búsqueda sean mucho más eficientes.

Como respirar
Desde una edad temprana, Leonhard Euler "calculaba sin ningún esfuerzo aparente, así como los hombres respiran, como las águilas se sostienen en el aire", según el matemático francés François Arago.

Las matemáticas le inspiraban tal pasión que cuando al final de su vida se quedó casi ciego sencillamente dijo: "Supongo que ahora tendré menos distracciones".

Probaba teoremas por diversión, así como tú o yo podríamos hacer Sudoku. Pero su padre, que era clérigo, quería que siguiera sus pasos.

"Tuve que registrarme en la facultad de Teología, y debía aplicarme a los idiomas griego y hebreo, pero no progresé mucho, pues dedicaba la mayor parte de mi tiempo a estudios matemáticos, y para mi feliz fortuna, las visitas del sábado a Johann Bernoulli continuaron".

Johann Bernoulli fue un destacado matemático con sede en la ciudad natal de Euler, Basilea, donde en el siglo XVIII había una suerte de mafia matemática.

La familia Bernoulli produjo ocho matemáticos sobresalientes en solo cuatro generaciones.
Johann fue tutor de Euler y persuadió a su padre para que le permitiera estudiar matemáticas en vez de religión.

Y fue el hijo de Johann, Daniel, gran amigo de Euler, quien le encontró su primer empleo, en la Academia de San Petersburgo donde él trabajaba.

Era en la sección médica, lo cual no era ideal, pero antes de irse a Rusia, Euler leyó todo lo que pudo sobre medicina. Tal era su forma de pensar, que logró convertir la fisiología de la oreja en un problema matemático.

El día en que Euler llegó, Catalina I de Rusia, la gran patrona liberal de la Academia de San Petersburgo, murió.

En medio de la confusión, Euler se mudó discretamente de la sección médica al departamento de matemáticas y a nadie pareció importarle.

En la ciudad de Königsberg tenían un pasatiempo dominguero que le llamó la atención a Euler.
Mientras estaba trabajando en San Petersburgo, Euler se enteró del conocido problema de los 7 puentes de Königsberg.
La ciudad prusiana de Königsberg estaba dividida en cuatro regiones distintas por las diversas ramas del río Pregel.
Siete puentes conectaban esas cuatro áreas diferentes y, en la época de Euler, se había convertido en un pasatiempo de tardes domingueras entre los residentes de la ciudad tratar de encontrar una manera de cruzar todos los puentes una sola vez y volver al punto de partida.

¿Puedes cruzar todos los puentes una sola vez y volver al punto de partida?

Euler le escribió una carta al Astrónomo de la Corte en Viena en 1736, describiendo lo que pensaba del problema:
"Esta pregunta es tan banal, pero me pareció digna de atención porque ni la geometría, ni el álgebra, ni siquiera el arte de contar era suficiente para resolverlo.
En vista de esto, se me ocurrió preguntarme si pertenecía a la geometría de posición, que (el polímata alemán Gottfried Wilhelm von) Leibniz alguna vez tanto anheló.
Y así, después de un poco de deliberación, obtuve una regla simple, pero completamente establecida, con cuya ayuda uno puede decidir de inmediato, para todos los ejemplos de este tipo, si tal ida y vuelta es posible".
En lugar de caminar interminablemente por la ciudad probando diferentes rutas, Euler creó una nueva "geometría de posición", en la cual las medidas anticuadas como longitudes y ángulos —todas las medidas de hecho— eran irrelevantes.
Lo que importa es cómo están conectadas las cosas.
Euler decidió pensar en las diferentes regiones de tierra en Königsberg que estaban separadas por el río como puntos y los puentes que los unen, como líneas que los conectan.
Puntos en vez de puentes, líneas en vez de caminatas... y encontró la solución no sólo a ese sino a un sinnúmero de problemas.
Lo que descubrió es esto: para que un viaje de ida y vuelta (sin volver sobre tus pasos) sea posible, cada punto —excepto los puntos de inicio y final— debe tener un número par de líneas entrando y saliendo.

La ventaja de la regla de Euler es que funciona en cualquier situación.
Cuando analizó su mapa de los siete puentes de Königsberg de esta manera, descubrió que cada punto o pedazo de tierra tenía un número impar de líneas o puentes que emergían de ellas.
Así, sin tener que caminar una y otra vez por la ciudad, descubrió matemáticamente que no era posible caminar por la ciudad cruzando cada uno de los puentes una sola vez.

Del siglo XVIII al XXI

La regla de Euler es fácil de aplicar.
Lo difícil era enmarcar el problema del puente Königsberg de esa manera en primer lugar, así como probar que "la cantidad de líneas que entran y salen de cualquier punto" realmente es todo lo que necesitas saber para saber si ese viaje es posible o no.
Y no se necesita ser un matemático para que una idea como esta te sea útil.
Gracias a reglas basadas en la obra de Euler, motores de búsqueda son mucho más eficientes.
La solución matemática de Euler al enigma de Königsberg ahora impulsa una de las redes más importantes del siglo XXI: internet, una red que conecta millones de computadoras en todo el mundo y mueve datos digitales entre ellos a una velocidad increíble.
"Si tengo mi computadora en casa y quiero entrar en un sitio web, necesito hacer una conexión entre mi computadora y el sitio web que puede estar en cualquier lado", dice Bill Thomson.
"Y puedo hacer esa conexión porque en mi computadora están incrustadas reglas basadas en el trabajo que Euler hizo en el siglo XVIII cuando trató de resolver el enigma de los puentes de Königsberg", explica el experto en tecnología.
El de los puentes de Königsberg estaba lejos de ser un problema acuciante en ese momento —más bien una curiosidad—, pero la solución de Euler perduró y revolucionó la era de la información del siglo XXI.
Lo que para Euler fue apenas un recreo, lanzó una de las ramas más importantes de las matemáticas.
Es como un cuento de hadas matemático, una historia con la que casi todos los matemáticos se criaron.