Arquímedes y su tumba

Arquímedes pidió que grabaran en su tumba una esfera dentro de un cilindro, y no una de sus máquinas de guerra: sabía cuál era su verdadero logro. Arquímedes nació en Siracusa, colonia griega en la isla de Sicilia,  hacia 287 a.C. y murió en 212 a.C. Demostró que la esfera inscrita en un cilindro tiene dos tercios de su volumen y de su superficie, un resultado que consideró su obra maestra. 

Cicerón cuenta que en el año 75 a.C., siendo cuestor en Sicilia, encontró la tumba olvidada entre zarzas gracias a ese grabado. Su método se adelantó siglos. 

Con polígonos de 96 lados acotó el número pi entre 3,1408 y 3,1429. 

En El Arenario inventó una notación para números gigantes y estimó cuántos granos de arena cabrían en el universo. 

En El Método, texto perdido y recuperado en 1906 en un palimpsesto de Constantinopla, usa el equilibrio de pesos para hallar áreas y volúmenes, rozando el cálculo integral. 

También fundó la hidrostática y la teoría de la palanca, y se le atribuye el tornillo para elevar agua. 

Según Plutarco, murió a manos de un soldado romano mientras trabajaba en unas figuras. 

El general Marcelo, cuentan, lamentó su muerte.

Victoria de Afd en Alemania. Análisis. Lo que ocurre cuando se deja crecer a la bestia. Cerrar los ojos ante el racismo y los discursos del odio tiene consecuencias

Manifestación en Nueva York el 6 de octubre de 1933 contra el fascismo y el nazismo.

Bettmann (Bettmann Archiv

En la novela 22/11/63, Stephen King juega con la posibilidad de que alguien viaje en el tiempo para impedir el asesinato del presidente John F. Kennedy en Dallas y así cambiar la historia. Pero la llagada de los grandes totalitarismos fascistas al poder en la Europa de los años trinta- Primero Mussolini en Italia, luego Hitler en Alemania, y finalmente Francisco Franco en España, que no hubiese ganado la guerra Civil sin la ayuda de los otros tiranos- no se hubiese podido evitar con una sola acción. Fue un proceso complejo, en el que se mezclaron la violencia con la ceguera política de aquellos que creyeron que los monstruos podrían ser controlados. Las grandes potencias democráticas occidentales no supieron ver lo que se les venía encima.

El historiador británico Frank McDonough está reconstruyendo la historia del nazismo a través de una serie de libros bajo el título genérico de The Hitler Year. El último volumen está dedicado al Holocausto y las fechas en las que se enmarca la destrucción de los judíos de Europa son especialmente significativas 1933-1945. La Shoah no empezó con al II Guerra Mundial, ni con la decisión de Hitler de ordenar el exterminio, ni con las cámaras de gas ni los fusilamientos masivos en la antigua URSS. El Holocausto empezó cuando los nazis, nada más llegar al poder, aprobaron las primeras leyes antisemitas desde la emancipación de los judíos en Alemania en 1871.

Resulta especialmente incómodo leer lo que ocurrió entonces en el resto del mundo: los grandes periódicos estadounidenses - McDonough cita a The New York Times, el Chicago Times, El Atlanta Constitution y The Washington Post- publicaron 455 artículos y editoriales "sobre la persecución de los judíos en Alemania con informaciones que ofrecían descripciones muy gráficas de la violencia física que sufrían", El 27 de marzo de 1933 - Hitler llegó al poder el 30 de enero - tuvo lugar un mitin para condenar la violencia nazi que reunió a 20.000 personas en el Madison Square Garden de Nueva York dentro de auditorio y a 35.000 en los alrededores. Estas manifestaciones pidieron el boicot de los productos alemanes. En abril, se convocaron marchas en todo Estados Unidos que reunieron a casi un millón de personas. El boicot no se produjo y Alemania siguió siendo tratada como un país más.

Las protestas fueron recibidas con indignación por la cúpula nazi. Hitler calificó las manifestaciones de "propaganda" y Goebbels aseguró que era una prueba más de que los judíos controlaban los medios de comunicación. Básicamente ninguna de las grandes potencias hizo nada pese a que la bestia de la represión iba creciendo en Alemania y los judíos -y todos aquellos que se oponían a los nazis- eran destruidos.

El Gran Dictador, la gran película de Charles Chaplin, una sátira del nazismo considerada actualmente una obra maestra sobre los totalitarismos, provocó un profundo malestar en Hollywood. Los estudios tenían miedo de que el filme que ridiculizaba a Hitler y denunciaba la persecución de los judíos les cerrase el mercado alemán, Por no hablar de la participación en los Juegos Olímpicos de Berlín en 1936, una gran operación de propaganda nazi.

La ignominia alcanzó cotas difícilmente superables cuando numerosos países se reunieron, en junio de 1938, en la conferencia de Evian para hacer frente al problema de los refugiados judíos, que todavía podían huir de Alemania. Los delegados de 32 países cerraron las puertas a decenas de miles de personas que hubiesen podido salvar sus vidas.

Es imposible saber que hubiese ocurrido si las democracias llegan a adoptar otra actitud, si no hubiesen mirado hacia otro lado y pensado que se podía llegar a algún tipo de acuerdo con el mal absoluto. Los años treinta del siglo XX están, afortunadamente, muy lejos (aunque la arrolladora victoria del partido ultra AfD) En Sajonia-Anhalt arrastra ecos del pasado, pero hay situaciones no solo en Europa, que recuerdan a lo ocurrido entonces; la estigmatización de pueblos y religiones, la violencia desatada contra población civil indefensa sin consecuencias, los discursos de odio y la deshumanización del otro, la manipulación del pasado, el ensañamiento con los débiles y los refugiados... El racismo y el supremacismo no deberían admitir compromisos. La historia nos enseña claramente que, cuando se deja crecer a la bestia, acabas por destruirlo todo.

Guillermo Altares, El País, 8 de septiembre de 2026.

Dime de qué presumes y te diré de qué careces en Ceuta. Por Juan Torres López

El Gobierno no falló por no poder, ni siquiera por no hacer, sino por no estar

Hay dos clases de problemas en la vida de las personas y en la de las sociedades: los que tienen solución y los que no. Los primeros desaparecen si se encuentra la respuesta adecuada y se aplica con acierto. Los segundos no tienen remedio que los haga desaparecer, y empeñarse en buscárselo conduce a la frustración primero, y después a la parálisis. Con ellos no cabe resolver, sino evitarlos mientras se pueda, paliar el daño, frenarlos, retrasarlos, pasarlos a otro tiempo o a otras manos… y, sobre todo, cuidar en todos los sentidos a quien los padece, sea una persona, un territorio, un animal o un patrimonio que no queremos perder.

Mi tesis es que el problema de Ceuta (y Melilla) pertenece a esta segunda clase en el plano político, geoestratégico e incluso humanitario, al menos a corto y medio plazo, y las razones de que no tenga solución me parecen claras. Son dos territorios que pertenecen a España antes de que existiera el Marruecos actual, pero que este país reclama sin descanso porque esa reivindicación forma parte de su identidad nacional y del cemento de su monarquía. Es un conflicto entre dos Estados imbricados hasta los tuétanos (fronteras, comercio, migración, seguridad, energía…) y de los cuales uno es una autocracia que sabe usar esa imbricación como palanca sibilina para agredir y hacer chantaje, incluso permitiendo –por ejemplo– que miles de personas violen una frontera como munición, aun a costa de sus vidas. Hay una población autóctona, la ceutí y melillense, con intereses propios y legítimos para la que seguramente no hay más “solución” imaginable que mantener el statu quo del que depende su vida. Y, para colmo, en España hay una derecha ferozmente nacionalista que se proclama patriota pero que nunca arrima el hombro en favor de toda la patria, sino que sopla las brasas con tal de quemar al gobierno que no represente a lo que ella considera la suya, la “España de bien”. Y lo hace aunque así se deteriore la cohesión interna, se quiebre la imagen internacional del país o hasta se genere más riesgo de perder territorios de la patria que dice defender. Y el problema se complica, finalmente, aún más dadas las racionales sospechas de que quien realmente mueve los hilos en esa zona pueden ser los gobiernos de Estados Unidos e Israel, a quienes interesa que España y Europa se desestabilicen, y que han dado sobradas muestras de cinismo e inmoralidad.

Es un conflicto entre dos Estados imbricados hasta los tuétanos

Quizá la mejor forma de comprobar que el problema de Ceuta no tiene solución es ver lo que han hecho quienes más alto proclaman que sí la tiene, la derecha y la extrema derecha (en este caso, la misma cosa) que acusan al Gobierno de Pedro Sánchez de no defender a Ceuta y que reclaman mano dura contra Marruecos.

Son la derecha y la extrema derecha que no sólo no condenan el franquismo, sino que incluso lo reivindican, pero que olvidan que en noviembre de 1975 y ante la Marcha Verde (trescientas mil personas caminando), el régimen de Franco –el más militarista, beligerante y supuestamente patriótico que ha conocido España, armado hasta los dientes y sin parlamento, oposición ni tribunales que le ataran las manos– no defendió el Sáhara. Lo entregó en cuestión de días, lo mismo que había hecho antes, en 1969, cuando cedió Ifni a Marruecos. Es la misma derecha que, sin embargo, celebró como gesta nacional la recuperación de la Isla Perejil, un islote deshabitado del que en 2002 hubo que desalojar a un puñado de gendarmes que ni siquiera opusieron resistencia.

Esa es la medida exacta del patriotismo de la derecha española: epopeya cuando no hay nadie ni nada que defender, entrega o silencio cuando lo que está en juego es un territorio con población y futuro. Y es la misma derecha que hace gala de su atlantismo y sintonía con Washington pero que calla cuando es precisamente Estados Unidos quien tiene la llave para subir o bajar la temperatura de la frontera.

Ni siquiera tiene solución a día de hoy el problema humanitario: el acoger, atender, ordenar la llegada de miles de personas con decencia. Es lo que habría que hacer, pero también esa puerta está entornada.

El Tribunal Supremo español dictó (casualmente días antes del problema) que a quienes son interceptados en el mar tratando de entrar a nado en Ceuta no se les puede aplicar el “rechazo en frontera” –es decir, la devolución sumaria en caliente–, sino el procedimiento ordinario de devolución, que lleva garantías individuales y necesita tiempo para hacerla efectiva, si se hace. Y aún más. ¿Cómo se frena una avalancha de casi tantos miles de personas como habitantes tiene Ceuta? ¿A tiros? ¿Ahogando a quien nada? No hay respuesta compatible con la decencia, y por eso ninguno de los que exigen firmeza ha formulado en voz alta solución alguna… salvo uno. La que dio el único dirigente de la derecha que se ha atrevido a concretar qué se debería hacer fue tan bárbara como esclarecedora: el diputado de Vox José María Figaredo propuso, sin metáfora y reiterándose al día siguiente sin retractarse, “cazar” a los inmigrantes “uno a uno” o “pescarlos”, y lo dijo acompañando sus palabras con onomatopeyas de disparo. Esa ha sido la única propuesta específica que la derecha ha logrado poner sobre la mesa.

Las salidas se cierran porque no se puede resolver en días, meses o pocos años el desnivel que empuja a la gente del África saqueada durante siglos hacia el norte. Porque se necesita a la inmigración, pero no se la quiere, y las patronales, los partidos y los gobiernos europeos (unos más que otros) están atrapados en esa contradicción. Porque no se aplaca con buenas palabras a un vecino que sabe usar la frontera como palanca de guerra híbrida y al que no le importa que mueran sus ciudadanos. Porque no se defiende un enclave como Ceuta con las bravuconadas de Aznar y sus acólitos, como demuestra la propia historia de la derecha que vocifera. Porque no se frena a decenas de miles de personas sin cruzar la línea de la barbarie y porque incluso la vía humanitaria tropieza con límites materiales que ningún discurso elimina.

Lo que separa la decencia de la ignominia es el cómo se cuida a quien padece

Lo único que queda entonces, cuando se han agotado todas las respuestas que podrían resolver el problema, es el cuidado. El pariente pobre de las respuestas a lo que no tiene solución.

Cuando no se puede resolver, ni domar, ni frenar sin barbarie, lo que separa la decencia de la ignominia es el cómo se cuida a quien padece. Y aquí es donde hay que decir, con dolor porque uno esperaba otra cosa, que el Gobierno ha fallado. No en lo imposible, pues nadie le puede exigir honradamente que resuelva lo que no tiene solución, sino precisamente en lo único que estaba en su mano, la celeridad a la hora de atender y el cuidado hacia la población ceutí y hacia la que entró irregularmente.

Es, sin duda, injusto decir que el Gobierno de Pedro Sánchez no ha hecho nada en la gestión administrativa de la emergencia. Ha habido muchos recursos, protocolos, plazas, kits de higiene, ministras que visitaron el enclave, y hasta se aceleró el traslado a la Península de las niñas más vulnerables. Hubo, incluso, perspectiva de género en esa gestión. Y sin embargo todo ello pertenece a un mismo tipo de actuación, el de la administración, el del poder que ordena, coordina y paga. Pero ha faltado otra, la que no tiene que ver con “hacer”, sino con “estar”.

Porque una cosa es atender a las personas y otra muy distinta es estar con ellas. Un gobierno puede movilizar recursos, habilitar plazas y activar dispositivos de emergencia manteniendo una enorme distancia con las personas concretas que sufren y se sienten solas, porque el sistema puede funcionar a la perfección mientras la persona sigue estando sola. Pero eso se paga.

El poder y la gestión llegaron tarde, a remolque de la presión vecinal. El cuidado ha tenido en Ceuta rostro y sexo y no ha sido el del Gobierno. Mientras el Estado contaba plazas, decenas de mujeres y niñas que dormían a la intemperie entre cientos de hombres empezaron a denunciar acoso y agresiones sexuales, y quienes primero improvisaron espacios donde pudieran pasar la noche seguras no fueron los ministerios, sino los vecinos de El Príncipe y de Sidi Embarek, una organización como Save the Children y las propias mujeres migrantes organizándose para protegerse unas a otras. Es verdad que fueron ministras. Hubo visitas, sí, pero no fue el Gobierno quien cuidó, sino otra gente. Y esa gente pudo ver lo que a la administración se le escapaba, porque sólo se ve cuando se está cerca que el problema no era únicamente cuántas camas había, sino quién protegía a las mujeres durante la noche.

Hay, de nuevo desgraciadamente, un símbolo bien elocuente de la distancia con la que el Gobierno ha hecho frente al drama. La del propio presidente, Pedro Sánchez, que ciertamente visitó Ceuta el 31 de julio, al día siguiente de la avalancha, pero que se marchó de vacaciones a la jornada siguiente a Lanzarote. Desde allí llegó a presidir, a mediados de agosto y por videoconferencia desde la residencia de La Mareta, la reunión con sus ministros sobre Ceuta. Tiene todo el derecho a descansar, como él mismo ha reivindicado, pero esa no es la cuestión. No se trata de discutir si un gobernante tiene derecho o no a irse de vacaciones. La cuestión es el modo de gobernar que atiende la emergencia de personas concretas a través de una pantalla, desde lejos, sin pisar el suelo del dolor. Gobernar Ceuta por videoconferencia desde la playa, o –como han hecho otras ministras y ministros, desde Madrid– es, literalmente, hacer sin estar.

Ahí está la diferencia entre administrar y cuidar, entre añadir una perspectiva de género a los papeles y cambiar la manera de ejercer el poder. Lo primero lo hizo el Gobierno; lo segundo no. Y ese ha sido el origen del grito que lanzaron los ceutíes (“Nos sentimos abandonados”) y que han repetido vecinos, comerciantes y hasta responsables políticos socialistas de la ciudad.

Que una parte de España tenga que decir en voz alta que se siente abandonada por España es, en sí mismo, el mayor de los reproches. No importa cuántos millones se liberen ni cuántos dispositivos se activen, porque es a ese sentimiento a lo que no se debió dar pie jamás. Un gobierno que cuida no evita sólo el daño material; evita, sobre todo, que los suyos (que somos todos) tengan que gritar que están solos. Y quien se siente solo y sin respuesta termina escuchando a quien le ofrece una, la que sea, aunque sea falsa y cruel. El abandono es la puerta por la que entra la demagogia, y por ahí se ha colado la derecha.

Quien se siente solo y sin respuesta termina escuchando a quien le ofrece una, aunque sea falsa y cruel

En toda esta tragedia, quien ha aparecido ante mucha gente como el que se pone del lado de Ceuta y de los demás españoles más o menos preocupados por lo que pasaba allí, ha sido la derecha, no el Gobierno. Es una solidaridad falsa, porque defiende a unos enfrentándolos a otros, porque propone cazar a los más vulnerables para tranquilizar a los demás y porque se basa en el mismo patriotismo de cartón-piedra que celebró la gesta de Perejil y calla ante los cadáveres del espigón. Pero si ocupa ese terreno es porque la izquierda lo dejó vacío.

Hay algo que la izquierda sigue olvidando. Hay muchos momentos, muchos más de los que solemos creer, en los que el consuelo, el apoyo, la compañía y la empatía son tan necesarios o más que la buena doctrina e incluso que la partida presupuestaria. Un poder que sólo sabe dar discursos, liberar fondos y redactar notas de prensa no sólo cuida mal; gestiona peor, porque se pierde justo lo que únicamente se conoce de cerca. Y la gente lo nota.

Un gobierno progresista no fracasa cuando es impotente ante un poder que lo desborda. De esa impotencia nadie está a salvo, y en Ceuta no había victoria posible para nadie. Fracasa –como está fracasando el Gobierno de Pedro Sánchez– cuando, no pudiendo resolver, renuncia además a lo único que sí estaba en su mano: estar al lado de la gente. No falló por no poder, ni siquiera por no hacer, sino por no estar.

Y la paradoja final es que todo eso que ha faltado tiene nombre. Esa presencia, ese hacerse cargo de la vida concreta de la gente, esa manera de ejercer el poder que no manda desde fuera, sino que sostiene desde dentro, no es un buenismo vago. Son, en su sentido más hondo, dos cosas que en este país no se paran de invocar, de las que se presume pero que, a la hora de la verdad, no se practican. Una se llama patriotismo, si por patriotismo no entendemos el culto a la tela de la bandera, sino la defensa de la vida, el bienestar, la seguridad y también el suelo donde vive la gente a la que uno se debe. La otra se llama feminismo, si por feminismo no entendemos la etiqueta, ni sólo la perspectiva de género añadida a un expediente administrativo, ni el recuento de cuántas ministras se sientan en el Consejo o de cuántos huecos se ocupan en las listas –eso es representación, que importa, pero es sólo la puerta–. De este Gobierno esperábamos algo más hondo, precisamente lo que el feminismo nos había hecho creer que podríamos esperar de su práctica: romper la vieja frontera que dejaba en el lado de lo público la razón, la autoridad y el mando, y confinaba en el de lo privado –donde a su vez se confinaba a las mujeres– el cuidado, la dependencia y la vulnerabilidad, como si no fueran también asuntos políticos. Esperábamos un modo de gobernar feminista que no se limitara a cambiar quién ejerce el poder, sino que transformara el cómo se ejerce, que sustituyera la lógica patriarcal de la jerarquía y el mando a distancia por la de la cercanía y el cuidado. De un cuidado de una clase precisa, porque no vale cualquiera: no el que decide desde arriba lo que a la gente le conviene –ese también es autoritario y paternalista–, sino el que escucha y reconoce a quien sufre, empezando por esas mujeres y esas niñas, como sujeto capaz de decidir sobre su propia vida y no como mero objeto al que proteger. Un poder que se mide, al final, en vida sostenida, en dolor aliviado y en autonomía devuelta.

Eso es lo que debería avergonzar a unos y a otros. Aunque, desde luego, no de la misma manera ni en la misma medida, porque igualar aquí las dos faltas sería la más cómoda de las mentiras. La derecha hace gala de patriotismo, pero lo que ha hecho no es defender la españolidad de Ceuta sino convertirla en un misil contra el Gobierno. Su única propuesta concreta ha sido cazar a los más débiles. El error del Gobierno, por el contrario, no es el del cínico que finge una virtud que no siente, sino el de quien traiciona una que dice tener y podía haber ejercido. A la derecha hay que reprocharle lo que hace; al Gobierno, con más dolor, lo que pudo hacer y no hizo.

Y si con este segundo se es más severo no es porque sea peor –a mi juicio no lo es–, sino porque de él se esperaba otra cosa y porque su fallo lo vamos a pagar muy caro y quizá pronto. Ceuta enseña algo muy claro: cuando un problema no tiene solución, lo más importante que cabe hacer es cuidar y no producir abandono, y haber descuidado ese cuidado y haber hecho que la población ceutí e incluso la del resto de España se sienta abandonada, lo que al principio de estas líneas parecía lo más pequeño de todo, es precisamente lo que dio la llave, ha dejado el campo libre y está haciendo fuerte a la extrema derecha.

Juan Torres López es economista y catedrático jubilado de Economía Aplicada.

Fuente: 

https://ctxt.es/es/20260901/Firmas/55068/Juan-Torres-Lopez-Ceuta-crisis-gestion-cuidados-gobierno-feminismo-extrema-derecha-soluciones.htm

¿A dónde va Marruecos?

¿A dónde va Marruecos? Nadie puede responder esta pregunta. Ni siquiera el rey Mohammed VI. Reconoció oficialmente los límites de un modelo que, en 1999, aseguró la transición del régimen del fallecido Hassan II, su padre, al suyo (1). “El deber de claridad y objetividad requiere matizar [el] equilibrio positivo, en la medida en que el progreso y los logros ya alcanzados lamentablemente aún no han tenido suficientes repercusiones en la sociedad en su conjunto Repitió al soberano nuevamente en la víspera de la Fiesta del Trono, en julio de 2019 (2).

Este modelo es el de una monarquía todopoderosa que promueve una economía ultraliberal a través de organismos públicos para la realización de proyectos espectaculares: línea de ferrocarril de alta velocidad (LGV) Casablanca-Tánger, zona económica y Port Tanger Med industrial, teatro Mohammed-VI en Casablanca, nuevas autopistas, etc. Proyectos importantes que, por supuesto, son atractivos a nivel internacional, y que han permitido al rey pasar el hito de veinte años de reinado sin la prensa, incluyendo Francés, empaña su imagen. Desde París o el centro de Rabat, el país todavía parece ser este águila giratoria (¡libre de petróleo!) En la cima de la economía africana y se integra fácilmente en las cadenas de valor mundiales, por ejemplo, convertirse en un productor de peso pesado en los sectores automotriz y aeronáutico (3).

Pero, en Marruecos, las ilusiones se evaporan como las capas freáticas bajo el doble pinchazo del turismo de masas, que sin duda será muy penalizado por la epidemia de Covid-19 y la agricultura intensiva (lea "La sequía agrava las dificultades del Reino "). A raíz del discurso del palacio, la teoría de la escorrentía ha dado lugar a críticas autorizadas de una distribución insuficiente de la riqueza. En sus últimos informes, el Tribunal de Cuentas, el Banco Al-Maghrib (el banco central) y el Consejo Económico, Social y Ambiental (CESE) han alertado sobre los problemas estructurales del país.

Aparentemente, todo está bien: se espera un crecimiento anual del producto interno bruto (PIB) del 3.5% en 2020 (4), índice de precios al consumidor bajo control (+ 0.6%), tasa de desempleo en 9.2 % en 2019 (9.8% en 2018) (5). A finales de octubre, frente a una audiencia de representantes internacionales (Alemania, Suiza, Banco Mundial, etc.), el primer ministro Saadeddine El-Othmani planteó todas las sonrisas frente a una magnífica pastelería decorada con un número: "53", como Place du Marruecos en el Doing Business - o índice de "facilidad para hacer negocios" - 2020, establecido cada año por el Banco Mundial. El reino ha crecido allí en siete filas (6).

Sin embargo, solo una minoría tiene la suerte de recibir un pedazo del pastel. Marruecos de Mohammed VI cambia de forma tan pronto como hablamos de los índices que cuentan: recopilación de todos los factores que revelan el estado de una sociedad, el Índice de Desarrollo Humano (IDH) establecido por el Programa de Naciones Unidos para el Desarrollo (PNUD) no miente: en 2019 (7), el país ocupó el puesto 121 en la categoría de "desarrollo humano promedio", muy por detrás de Argelia (82) y Túnez (91) , ambos incluidos en la sección "alto desarrollo humano". Lo que molesta a la élite marroquí, que, alabando los méritos del reino, a menudo insiste en las situaciones de conflicto entre sus vecinos.

Este 121 ° lugar refleja una realidad muy cruda. "Hay un 10% de ciudadanos en situaciones de extrema pobreza total", explica Taïeb Aisse, especialista en desarrollo territorial, que colabora con el gobierno actual, dominado por el Partido de Justicia y Desarrollo (PJD, referencial islámico) . "Es decir, no tienen nada. Sin ingresos Es muy peligroso ! Además de esta indigencia absoluta, la clase media también sufre la abismal brecha entre lo que llamamos aquí el "escaparate" y el país real.

El país se ha quedado atrás en educación
Este escaparate es claramente visible cuando se viaja por el norte del país. La estación Casa-Voyageurs es tan brillante como las de Rabat o Tánger. Pero, a través de las ventanas del TGV, tres cuartos lleno, que gira a 314 kilómetros por hora a lo largo del océano, se puede ver, desde los primeros minutos, vastas extensiones de arcilla parcialmente salpicadas de viviendas de chapa, bloques de hormigón u hormigón. Las autoridades han vaciado barrios marginales emblemáticos, como el de Sidi Moumen, una bolsa de pobreza a las puertas de Casablanca, que albergó a los terroristas que cometieron los ataques de 2003. Poco a poco, los habitantes fueron reubicados en otros lugares, en grandes complejos, docenas de '' edificios idénticos con un máximo de cinco pisos. Sin infraestructura ni transporte, estas ciudades construidas apresuradamente recuerdan las elecciones de Francia durante los años 1950-1960, de los cuales sus suburbios nunca se recuperaron. Aquí no reducimos la pobreza: la alejamos de los centros urbanos y de los visitantes extranjeros.

Terminado el año pasado, el paseo marítimo de Tánger, que corre a lo largo de la playa, ha borrado los viejos bares, ahuyentó a los espectadores alcohólicos y a varios traficantes de drogas. Por la noche, las murallas iluminadas que bordean la medina ofrecen una vista única de la Bahía de Gibraltar. Pero las preocupaciones de la población están en otra parte. "Marruecos, es simple: no hay nada que hacer, la molestia está en todas partes, incluso para eliminar cualquier documento administrativo ... Te tratamos como un insecto", suspira la Sra. Samira T., de 30 años, maestra en Un colegio público en la ciudad. Su experiencia personal ilustra el atraso del país en uno de los campos tomados en cuenta por el PNUD para su clasificación: la educación.

"Enseñé durante cuatro años en un ambiente difícil, en Fnideq, una ciudad muy conservadora de la que salieron muchos de los hombres que se unieron a la Organización del Estado Islámico. Cuando me transferí a Tánger, pensé que mi vida diaria mejoraría. Pero no, al contrario: fue el verdadero comienzo del infierno. Dieciocho meses de depresión tratados con ansiolíticos, de los cuales la joven apenas se está recuperando. "Sin embargo, el barrio no es particularmente pobre. Casi todos los estudiantes tienen tabletas. Pero las condiciones de enseñanza son insoportables ", explica el que se prepara ese día para dar una clase de francés a una clase de ... ¡cuarenta y nueve estudiantes! Y esto por 520 euros al mes. "Crecí en una aldea remota, desprovista de todo. Pero al menos, con la escuela pública, tuvimos la oportunidad de sobrevivir. Hoy, el nivel es muy bajo. "

Las familias que pueden hacerlo recurren a escuelas privadas, a niveles tan dispares como los del público. Esta situación crítica se destaca en numerosos informes, marroquíes e internacionales. Un estudio en la Revista Internacional de Educación de Sèvres considera "una reforma radical y vital que permitirá que el sistema educativo marroquí progrese y cumpla sus misiones (8)". En diciembre de 2017, cuando acababa de ser nombrado jefe de gobierno, El-Othmani habló de una medida de choque: el fin de la educación superior gratuita. Una elección que el CESE no valida. "Hacemos que la gente pague dos veces: primero con impuestos, luego al presionarlos para que se vuelvan privados", comenta su presidente, el Sr. Ahmed Reda Chami, un ex ejecutivo de Microsoft que fue ministro de industria de 2007 a 2012. Sin embargo, el Primer Ministro defiende esta medida, así como su historial. "Hemos reducido en gran medida el número de estudiantes por clase. Tenemos más o menos cuarenta años, ahora. Cuarenta y nueve estudiantes es la excepción, nos asegura. En términos más generales, hemos reducido la pobreza a la mitad desde 2004. ¡Marruecos está avanzando! La señora T. sueña con irse del país. En los próximos dos años, espera, residirá en Canadá, donde habrá "recuperado [su] dignidad".

Segundo criterio, también tomado en cuenta en el ranking del IDH: salud. "En Marruecos, es simple: se debe crear un sistema de salud completo", lamenta Othmane Boumaalif. A los 38 años, este médico general pertenece a la generación de militantes del llamado movimiento "20 de febrero", que apareció en 2011 a raíz de las revueltas populares en Túnez y Egipto. Preside un Anfass democrático ("respiraciones" en árabe), una asociación que regularmente produce notas sobre la economía y la sociedad. "El problema es estructural: no tenemos la primera línea, el médico tratante que examina y luego dirige al paciente de acuerdo con su patología". En Marruecos, el paciente acude al médico, si obtiene una cita antes de los seis meses, o al centro hospitalario de la universidad [CHU], cuando existe, o al dispensario ... Es un caos total, y las personas a menudo recurren a la automedicación. ¿Qué piensa de los nuevos establecimientos construidos en asociación con los Estados del Golfo? “Estamos construyendo un puñado de hospitales de exhibición muy bien equipados. ¡Pero nadie puede pagarlos! Además, Marruecos sigue siendo un gigantesco desierto médico, especialmente porque muchos de nuestros practicantes emigran a Alemania, donde ahora se reconoce su diploma. "

¿Cómo explicar esta discrepancia entre datos macroeconómicos bastante halagadores, infraestructuras llamativas y enormes deficiencias en los servicios básicos del gobierno? "Tenemos que relacionar el sistema político con los problemas de la economía", explica el economista Najib Akesbi, que acaba de retirarse de la escuela agrícola en Rabat. Cuando el sistema político decide favorecer un programa de carreteras mientras que los caminos rurales, las vías para conectar una aldea con otra faltan en todas partes, estas son opciones que no pueden ser viables. La muy costosa sección Fez-Oujda, por lo tanto, solo funciona al 10% de su capacidad. Las opciones de inversión son irrelevantes para las necesidades de la población. "

La falta de recursos, por lo tanto, no es la primera causa de desequilibrios económicos. "Tenemos una buena tasa de inversión (32%), pero no genera suficiente crecimiento ni suficientes empleos", continúa el economista. Por qué ? Hace diez años, un punto de crecimiento representaba 35,000 empleos. Hoy es menos de 10,000. Los grandes proyectos emplean a personas solo por un tiempo limitado. Además, el 70% de la inversión está compuesta por fondos públicos. Este es el primer fracaso del "modelo de desarrollo marroquí". "

Durante cincuenta años, una de las opciones estratégicas del régimen ha sido apostar todo en la economía de mercado y en el sector privado, en gran medida subsidiado por el estado, con la idea de que sería autosuficiente y se convertiría en el inversor principal. Esta apuesta es un claro fracaso. Además de invertir poco, el sector privado paga solo el 10% de la población activa (1,2 millones de personas de 12, para una población total de 36,6 millones de personas). Otro fenómeno notable es el de los trabajadores fantasmas. Entre estos 12 millones de personas que trabajan, 2 millones se identifican como tales, pero no se les paga. Particularmente en esta categoría se encuentran los trabajadores agrícolas empleados en la granja familiar o los jóvenes que trabajan en la industria artesanal.

"No logramos alcanzar la tasa de crecimiento del 6 al 7% que esperábamos", dijo Chami. Ahora necesitamos un crecimiento más sostenible, lo que beneficia a más personas. Hemos invertido demasiado en hardware [infraestructura] y no lo suficiente en software [aquí en el sentido de valor agregado]. Atractivo al principio, esta metáfora encuentra rápidamente sus límites, cuando la mayoría de los servicios carecen en el sur. ¿No sería mejor construir un tren para Agadir, uno de los principales centros turísticos costeros del país y un importante relevo a más áreas del sur, en lugar de endeudarse por un TGV cuando ya existía una línea entre Casablanca y Tánger?

Una controvertida línea de TGV
La pregunta avergonzó al primer ministro, que es originario de Souss, una región en el suroeste de Marruecos: "Cuando llegué al puesto de jefe de gobierno, la decisión ya estaba tomada", explica. Entonces no es mi culpa. Yo digo: "Mantengamos el TGV e intentemos construir el tren para Agadir". Muchos de sus conciudadanos no están de acuerdo. Para Akesbi, "el TGV es un desastre para el país". El economista recuerda que inicialmente, para que el LGV sea rentable, el precio de las entradas debería haber estado entre 80 y 120 euros; demasiado para la clase media marroquí. Por lo tanto, el estado ha bajado artificialmente el precio y cuesta menos de 25 euros ir de Casablanca a Tánger. "La Oficina Nacional de Ferrocarriles [ONCF] paga la diferencia y por lo tanto empeora su déficit, que el contribuyente tendrá que rescatar. Lo que no pagamos cuando compramos el boleto, lo pagaremos con nuestros impuestos ”, dice Akesbi.

En Jemaa-el-Fna (9), emblemático del templo del turismo que se ha convertido en Marrakech, un gran cartel celebra al rey: "Veinte años de logros" y "desarrollo económico". Pero, a menos de trescientos kilómetros de distancia, las aceras maltratadas de Agadir (400,000 habitantes) nos recuerdan que este "desarrollo" no beneficia a todos. Las paredes rezumadas y amarillentas de la estación de autobuses, en comparación con la magnificencia de la estación de tren de Marrakech, cuestionan las opciones económicas del régimen. Una sucesión de edificios en ruinas, el centro de la ciudad se está desmoronando. Signo de la lámpara de araña de antaño, la ciudad tiene no menos de tres palacios; pero el soberano, que prefiere el norte del país y el extranjero, rara vez los honra con una visita (10).

Economía de alquiler y varios monopolios.
Víctima de las elecciones inequitativas del poder, Agadir ahora es castigada, condenada al subdesarrollo. "En el pasado, no estábamos lejos de Marrakech. Hoy es otro mundo. "A los 37 años, este gerente de espacio publicitario, que sin embargo cuenta entre sus clientes con la cadena de comida rápida McDonald's, vio caer su facturación de 100,000 a 40,000 euros entre 2012 y 2019". empresas, mientras que Agadir ahora representa el 4% de la cuota de mercado publicitario, frente al 12% de Marrakech? »Un maestro de escuela retirado, el Sr. Mohammed Jaouhair, divide su tiempo entre Agadir y Sidi Ifni, a una hora y media por carretera desde la pista sur. "El otro día, en el" desangrado ", me picó un escorpión, nos cuenta mostrando la fotografía del artrópodo negro, tomada con su teléfono. Como no hay UHC allí, y no podía esperar una cita con el médico, fui a la clínica. ¡Me dijeron que no tenían nada para mí! Pasé veinticuatro horas acostado, ansioso, esperando que pasara ", explica este miembro de la red Akal (" tierra "en bereber), que está luchando por el rec

Nacimiento de la comunidad amazigh en el sur del país.

A principios de noviembre, Mohammed VI, sin embargo, pidió una "reflexión seria" sobre el establecimiento de un enlace ferroviario entre Marrakech y Agadir (11). Pero las dificultades de Marruecos no se derivan únicamente de las elecciones cuestionables del palacio; También son estructurales, inherentes a la economía de la renta y a varios monopolios que ya existían durante la era colonial francesa, y que la monarquía ha perpetuado. "Este es el otro lado del fracaso de la apuesta de economía de mercado", dice Akesbi. El alquiler, es decir, una remuneración sin trabajo o valor agregado, actividad económica gangrena. Tome el transporte de pasajeros: ¿quiere iniciar un negocio en este sector? No puedes Para esto, es necesario tener una autorización, es decir, una autorización política. Se le da no porque su proyecto sea viable, sino porque está en la corte. Los recursos naturales también están sujetos a alquiler. En la industria, el 40% de las empresas dicen que están en un sector oligopolístico o duolista. Agua embotellada, bosques, canteras de arena, minerales, pero también bancos, combustibles ... Ningún sector escapa hoy a esta ley de aprobación.

Involucrado en múltiples actividades, incluido el sector bancario altamente remunerativo, ansioso por preservar las apariencias mientras mantiene su control sobre la economía (12), el rey ahora promueve la idea de un "nuevo modelo de desarrollo". El proyecto pretende sobre todo ser "filosófico", explica el Primer Ministro. Pero todavía ? Los contornos aún no están bien definidos, aunque, en diciembre de 2019, Mohammed VI nombró a treinta y cinco personalidades miembros de una comisión responsable de entregar un informe el próximo junio. ¿Esta reflexión conducirá a facturas? "Seguramente", elude al Primer Ministro. ¿Invertir en qué sector? El misterio permanece. "Servicios públicos", espera por su parte el Sr. Chami.

Pero aún es necesario poder financiarlos. La dotación de seguridad sigue siendo considerable: 77 mil millones de dirhams (7,32 mil millones de euros). ¡Esto es solo un poco menos que el primer elemento de la ley de finanzas de 2020, es decir, el servicio de la deuda, que alcanzó los 96.500 millones de dirhams (9.1700 millones de euros) (13)! Además, Marruecos sigue enredado en un sistema fiscal "injusto e ineficaz", según las conclusiones de la conferencia fiscal celebrada en mayo de 2019. Hasta ahora, el reino siempre se ha negado a llevar a cabo una reforma en esta área.

Clima nocivo y represión contra el "hirak"
"Hablar sobre nuevos desarrollos sin reformar el modo de gobierno es una pérdida de tiempo", dijo Boumaalif. Debemos avanzar hacia un nuevo pacto social, una monarquía parlamentaria. El asunto de la gobernanza es asunto del pueblo marroquí. El palacio permanece sordo a este discurso. Para hacer frente a este triple impasse, político, económico y social, parece por el contrario sentirse tentado por una solución de estilo argelino, que combina la cooptación y la represión. El caso del periodista Hajar Raissouni, arrestado por "aborto ilegal" y "sexo fuera del matrimonio", sentenciado a un año de prisión antes de obtener el perdón real, causó revuelo en el extranjero. Destaca el clima nocivo dentro del reino, que pesa principalmente sobre los militantes del hirak ("movimiento popular") del Rif (14). Desde que comenzaron las protestas en 2017, varios cientos de manifestantes han sido condenados, algunos a veinte años de prisión. A finales de 2019, cincuenta y cinco seguían detenidos. Varios de ellos comenzaron una huelga de hambre a principios de febrero para protestar por sus condiciones de detención.

" Y por qué ? ¡Por pedir agua, electricidad, servicios públicos, sin violencia! Suspira la Sra. Amina Khalid, coordinadora de ayuda familiar para prisioneros de Hirak. “Me recuerda a los años de Hassan II. La represión es una vez más una política estatal en Marruecos ", lamenta esta hija de activistas de la Unión Socialista de Fuerzas Populares (USFP). Señales de creciente impaciencia entre la población, miles de personas marcharon el 23 de febrero en las calles de Casablanca para denunciar la disminución del poder adquisitivo, el alcance de la corrupción y la degradación de los derechos humanos. "El marroquí se ha conmovido tanto que ya no cree en nada", suspira la Sra. Khalid. Simplemente no queda esperanza; esperamos. Quizás el ejemplo del Hirak libanés nos inspire. "

Marruecos se busca a sí mismo en una atmósfera que recuerda los últimos años del régimen de Zine El-Abidine Ben Ali, cuando Túnez vivía bajo el control de Trabelsi, los suegros del presidente. ¿Se acerca el final de una era? El comportamiento del propio rey cuestiona. No estuvo presente en septiembre de 2019 en el funeral de Jacques Chirac, un gran amigo de su padre, ni en octubre en Sochi para la cumbre Rusia-África, donde había delegado a su jefe de gobierno. Además de los efectos del anuncio, ¿qué piensa él, rodeado por este gabinete real cuyo personal llegaría a dos mil personas? ¿Su discreción anuncia grandes cambios por venir? "Todos los que le dirán que el rey es el pegamento del país son aquellos que aún tienen algo que perder en el sistema actual", dice el periodista Omar Radi, atento espectador de un Marruecos con un futuro cada vez más incierto. .

Pierre Puchot
Periodista.

(1) Lea Kader Abderrahim y Zakya Daoud, "¿Realmente cambia Marruecos? ", Le Monde diplomatique, febrero de 2000.

(2) "Fiesta del Trono: discurso integral del Rey Mohammed VI", Atlas Info, 29 de julio de 2019.

(3) Cf. Jean-Pierre Séréni, "La economía de Marruecos. "Bien, pero debe (mucho) hacerlo mejor", Oriente XXI, 24 de febrero de 2020.

(4) La Vie éco, Casablanca, 28 de enero de 2020.

(5) Agence Ecofin, Genève-Yaoundé, 22 de febrero de 2020.

(6) Doing Business, 24 de octubre de 2019.

(7) "Informe sobre Desarrollo Humano 2019", PNUD, diciembre de 2019.

(8) Rahma Bourqia, "Repensar y refundar la escuela en Marruecos: la Visión Estratégica 2015-2030", Revista Internacional de Educación de Sèvres, n ° 71, abril de 2016.

(9) Lea Juan Goytisolo, "Jemaa-el-Fna, patrimonio oral de la humanidad", Le Monde diplomatique, junio de 1997.

(10) Cf. Ignacio Cembrero, "Mohammed VI, el desconcertante ausentismo del rey de Marruecos", Oriente XXI, 23 de octubre de 2017.

(11) "Mohammed VI anuncia el proyecto para una línea de ferrocarril Marrakech-Agadir", Bladi.net, 7 de noviembre de 2019.

(12) Lea Pierre Daum, "Marruecos petrificado por su rey", Le Monde diplomatique, octubre de 2016.

(13) Mohammed Benmoussa, "Lectura sociopolítica y económica de la ley de finanzas 2020", Le Desk, 27 de octubre de 2019.

(14) Lea Aboubakr Jamaï, "En Marruecos, el Rif desafía al rey", Le Monde diplomatique, julio de 2017.

Las matemáticas... ¿nos las inventamos o las descubrimos? Un milenario debate sin resolver

¿Un invento o un descubrimiento? 

Hay un misterio en el corazón de nuestro Universo. Un rompecabezas que, hasta ahora, nadie ha podido resolver. De resolverlo, las consecuencias serían profundas.

El misterio es por qué las reglas y los patrones matemáticos parecen infiltrarse en casi todo el mundo que nos rodea. De hecho, hay quienes describen las matemáticas como el lenguaje subyacente del Universo.

¿Significa eso que es algo que simplemente hemos ido descubriendo? ¿O es algo que hemos ido inventando, como cualquier lenguaje?

Nos hemos hecho esa pregunta durante miles de años y aún no hemos podido ponernos de acuerdo.

Porque las matemáticas apuntalan casi todo en nuestro mundo moderno, desde computadoras y teléfonos móviles hasta nuestra comprensión de la biología humana y nuestro lugar en el Universo.

Es por eso que los grandes pensadores de la historia han tratado de explicar los orígenes del extraordinario poder de las matemáticas.

Los números
El mundo moderno no existiría sin las matemáticas. Se esconde detrás de casi todo lo que nos rodea e influye sutilmente casi todo lo que ahora hacemos.

Y, sin embargo, es invisible. Intangible.
Entonces, ¿de dónde vienen las matemáticas? ¿Dónde viven los números?

A menudo pensamos en los números como algo atado a objetos, como el número de dedos en una mano o el número de pétalos en una flor.

 

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Esta flor tiene 5 pétalos. Si le quitas 2, quedarán solo 3 (y se verá menos bonita).

Los pétalos ya no estarán, pero el número 2 seguirá existiendo.

Eso es algo que no puedes decir de todo: si los lápices nunca se hubieran inventado, la idea de un lápiz no existiría.

Puedes destruir el objeto físico, quemarlo hasta que sólo queden cenizas, pero no puedes destruir la idea de los números.

En todas las culturas del mundo, todos estamos de acuerdo sobre el concepto de 4, así lo llames cuatro, four, quatre, vier, o escribas el símbolo de otra manera.

 

Pie de foto,

No importa cómo lo llames o cual símbolo uses para escribirlo, el concepto del 4 es universal.

El mundo platónico de los números
¿Habrá entonces algún mundo mágico paralelo en el que viven todas las matemáticas? ¿Un lugar en el que están las verdades fundamentales que nos ayudan a comprender las reglas de la ciencia?

O, ¿será todo producto de nuestra imaginación e intelecto?

"Es demasiado extraordinario pensar que las verdades matemáticas son producto enteramente de nuestras convenciones en la mente humana... Yo no creo que seamos tan inventivos", opina Eleanor Knox, doctora en Filosofía de la Física de King's College London, Reino Unido.

"A veces parece que las matemáticas se descubren, especialmente cuando el trabajo va muy bien y sientes como si las ecuaciones te estuvieran impulsando", señala Brian Greene, profesor de Física y Matemáticas de la Universidad de Columbia, EE.UU.

"Pero luego das un paso atrás y te das cuenta de que es el cerebro humano el que impone estas ideas y estos patrones en el mundo y, desde esa perspectiva, parece que las matemáticas son algo que viene de nosotros", agrega Greene.

"El número cinco se llama fem en sueco, mi lengua materna", dice Max Tegmark, profesor de Física y Matemáticas en MIT, EE.UU.

"Esa parte la inventamos, el bagaje, la descripción, el lenguaje de las matemáticas. Pero la estructura en sí misma, como el número 5 y el hecho de que es 2 + 3, esa es la parte que descubrimos", explica el experto sueco.

El problema es que tanto quienes creen que las matemáticas fueron descubiertas como quienes piensan que son inventadas tienen argumentos muy persuasivos.

Tanto que seguramente esta serie te hará cambiar de opinión una y otra vez.

Para darte una prueba, empecemos con unas de muestras más sencillas de quienes dicen: "Las matemáticas están a nuestro alrededor. Solo necesitas saber dónde mirar para descubrirlas".

El ingenio del nautilino

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Pie de foto,Se les considera fósiles vivientes... llevan siglos asombrándonos.

De todas las estructuras que encuentras en la naturaleza, una de las más bellas es la concha de los nautilinos.

La criatura que vive adentro crea todas estas formas, y salta de una cámara a otra a medida que crece.

Es asombroso cómo ese pequeño ser puede crear algo tan extraordinario e increíblemente complejo.

Además, tiene un patrón oculto, que puedes revelar tomando tres pares de medidas de las cámaras.

Elijes un ángulo y mides la cámara interior, y luego una segunda medición hasta el borde exterior.

Midiendo las cámaras de la concha de nautilo 

Pie de foto,

La primera media está en rojo y las segunda empieza en el mismo lugar, pero llega más lejos. Tras hacer eso tres veces en tres ángulos diferentes tendrás tres pares de números que, a primera vista, parecen aleatorios.

En este caso:

14,5 / 46,7

23,9 / 77,6

307 / 995

Pero las apariencias pueden ser engañosas, porque si tomas cada uno de estos pares de números y divides uno por otro, comienza a emerger un patrón muy claro.

46,7 dividido 14,5 = 3,2

77,6 dividido 23,9 = 3,2

995 dividido 307 = 3,2

No importa dónde midas la concha, la proporción del ancho de las cámaras termina siendo constante.

Cada vez que el nautilino hace un giro completo, termina sentado en una cámara que tiene aproximadamente 3,2 veces el ancho del giro anterior.

Y al repetir esta simple regla matemática, puede crear esa concha en espiral bellamente intrincada.

Concha de nautilinosFuente de la imagen,Getty Images Pie de foto,

La hermosa concha del nautilinos con su espiral logarítmica es la imagen clásica usada para ilustrar el desarrollo del cálculo.

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Pie de foto,La hermosa concha del nautilinos con su espiral logarítmica es la imagen clásica usada para ilustrar el desarrollo del cálculo.

La crucial teoría matemática que enfrentó a dos titanes del siglo XVII: Isaac Newton y Gottfried Leibniz

Los pétalos de las flores

El nautilino no es el único ser vivo que tiene un patrón matemático oculto en su interior.

Si alguna vez has contado los pétalos de una flor, es posible que hayas notado algo inusual.

Unas tienen 3 pétalos. Otras, 5. Algunas, 8. Hay de 13 pétalos. Pero rara vez tienen los números intermedios (4, 6, 7, 9, 10, 11 o 12).

Flores

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Pie de foto,

En los pétalos de las flores puedes encontrar la sucesión de Fibonacci, que comienza con 0, 1, 1​ y a partir de estos, cada número es la suma de los dos anteriores. La sucesión tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemática y teoría de juegos.

Estos números surgen una y otra vez. Parecen aleatorios, pero todos son parte de lo que se llama la secuencia o sucesión de Fibonacci, en nombre del matemático italiano del siglo XIII que la describió en Europa.

Comienzas con los números 1 y 1, y desde ese punto, sigues sumando los dos últimos números.

Así que...

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

... y así sucesivamente.

Al observar la cantidad de pétalos en una flor, descubres que siguen la sucesión de Fibonacci. Lo mismo sucede en muchas configuraciones biológicas, como las ramas de los árboles y las hojas en los tallos, entre otras.

Y eso no es todo.

Si te fijas en el centro de un girasol, verás que las semillas están dispuestas en forma de espiral. Cuenta el número de espirales en una dirección y, a menudo, encontrarás un número de Fibonacci.

Si luego cuentas las espirales que van en la dirección opuesta, encontrarás un número de Fibonacci adyacente.

¿Por qué las plantas hacen eso? Pues resulta que es la mejor manera en la que la flor puede organizar sus semillas para evitar que se dañen.

girasol 

Pie de foto,

Las semillas empacadas en espiral.

Esas reglas matemáticas simples y gloriosas que se encuentran escondidas en la naturaleza no parecen una coincidencia.

Una vez que detectas este tipo de patrones matemáticos, sientes que los descubriste, no que te los inventaste.

Es como si las matemáticas estuvieran ahí esperando que las encuentres.

No obstante...

Durante siglos, se pensó que el lenguaje de las matemáticas era fijo e inalterable, hasta que se hizo evidente que faltaba algo:

0

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Pie de foto,

El cero.

¿Qué es exactamente cero?

Un cero significa nada. Si tienes cero de algo, tienes nada.

Por qué, científicamente, nada es imposible

El 0 es un concepto extraño; es como si la ausencia se convirtiera en algo.

¿Se trata de un número o una idea? ¿Y cómo puede algo sin valor tener tanto poder?

El 0 vs. los romanos

Restos de un barco antiguo con números romanos.

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Pie de foto,

Restos de un barco antiguo con números romanos.

Aunque siempre hemos entendido el concepto de no tener nada, el concepto de cero es relativamente nuevo.

Usábamos números, podíamos contar pero antes del siglo VII el cero no existía.

Occidente ya tenía un sistema numérico: los números romanos.

Funcionaban bien, aunque eran algo difíciles de manejar

No se sabe si el 0 se originó en China o India pero fue en la última donde se comenzó a aceptar como un número adecuado.

El manuscrito de Bakhshali: el descubrimiento que muestra que el cero tiene 500 años más de lo que se pensaba 

Fuente de la imagen,Bodleian Library

Pie de foto,

Esta es una página del manuscrito indio de Bakhshali de alrededor de 225 d.C., que muestra los puntos sobre los caracteres que representan 0. Este es el primer uso conocido del símbolo cero.

Durante casi 1.000 años, los matemáticos indios trabajaron felices con números indo-arábigos, mientras que sus homólogos occidentales continuaron con los números romanos, hasta que el matemático Fibonacci reconoció su potencial.

Al-Juarismi, el erudito persa que introdujo los números a Occidente y nos salvó de tener que multiplicar CXXIII por XI

Había sido educado en el norte de África, conocía la obra del erudito persa Al-Juarismi, por lo que había visto de primera mano cuán bien funcionaba ese sistema de números.

Es por eso que alertó a Europa occidental de la existencia del sistema indo-arábigo y defendió el 0.

Ese nuevo número era el que más cambios introducía.

En números romanos, por ejemplo, 1958 se escribe: MCMLVIII.

No importa dónde la coloques, la letra C siempre representa el número 100.

El 0 era diferente. Su posición podía cambiar los valores de los números a su alrededor. Piensa en la diferencia entre 11 y 101.

El 0 te permite escribir más números y manipularlos mucho más rápida y fácilmente.

Robot con código binario atrás

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Pie de foto,

Fue inventado y resultó tremendamente útil: toda la tecnología moderna está literalmente construida sobre 1s y 0s.

Ahora: el 0 no lo descubrimos, lo creamos como parte del lenguaje para describir números.

Eso hace que las matemáticas se sientan como algo que hemos ideado. Necesitábamos un sistema numérico más fácil de usar así que a alguien se le ocurrió la brillante idea del cero.

Es una evidencia intrigante de que las matemáticas podrían ser inventadas, un producto de nuestro intelecto e imaginación.

Y no es la única, por supuesto, así como hay muchas más que apoyan el argumento de que las matemáticas ya existen y las vamos descubriendo.

¿Qué piensas tú?

https://www.bbc.com/mundo/noticias-45955552

Hannah Fry, matemática

Aeromodeller Annual 70-71. RELACIÓN ENTRE LOS PARÁMETROS BÁSICOS DEL PERFIL/ALARGAMIENTO Y VELOCIDAD DE DESCENSO DE VELEROS PLANEADORES NÓRDICOS A-2

Reconocimiento

Estamos sumamente agradecidos al Sr. Brian Eggleston, B. Sc. (Ing.), de DeHavilland, Canadá, y al Dr. David Surry de los Laboratorios Nacionales de Física, Inglaterra, por sus útiles sugerencias y críticas en las etapas formativas de este documento.

Introducción

Los cambios mínimos en las especificaciones de los planeadores A-2 durante la última década han permitido observar un patrón de "asentamiento" en la duración máxima en aire en calma para estos planeadores. La duración media para todos los tipos (modelos en “aire laminar” y “turbulentos” agrupados) parece caer en aproximadamente la región de 150 segundos. Se han realizado muchos experimentos con secciones de ala, a base de prueba y error, dando resultados positivos o negativos sin ser realmente conscientes de qué relaciones definidas existían entre los parámetros de la sección del ala y la duración del "vuelo en aire en calma". Por lo tanto, se decidió que tal vez una solución con un examen estadístico más cuidadoso de estos parámetros tomados de una sección transversal de planeadores ya probados y volados revelaría algunas de sus relaciones.

La Figura 1, a continuación, ilustra los parámetros básicos analizados.

En el Apéndice I se muestran todos los apartados analizados y en la Tabla I se recogen los

resumen de datos de estas secciones.

Todos los planeadores eran F.A.I. especificaciones clase FIA ​​(A-2 Nórdico).

Inicialmente, todos los parámetros principales se trazaron frente a la tasa de velocidad de caída (descenso) para determinar qué correlación existía (si la hubiera), y también se realizaron algunos gráficos entre combinaciones de parámetros y tasa de caída.

Parámetros generales

Los gráficos de línea (del perfil) inferior y línea media no indicaron ninguna correlación. Lo mismo se aplica a la posición de la curvatura inferior, la curvatura media, el espesor y la curvatura superior singularmente. Esto era de esperarse porque estas posiciones sirven sólo para fijar la forma del dibujo de la sección (perfil) y son determinantes de la estabilidad de dicho perfil o sección.

Espesor

El espesor (en % de la cuerda) se trazó en función de la tasa de caída (consulte el gráfico N° 1 y Columna 2, Cuadro I). Como se puede observar, existe cierta relación, en eso la disminución del espesor tiende a disminuir la velocidad de caída, pero el coeficiente de correlación es demasiado pequeño para ser significativo. Reducir el espesor disminuirá la resistencia del perfil, pero al mismo tiempo disminuirá la sustentación. Parece que se alcanza un punto en el que la disminución de este parámetro provoca una pérdida de sustentación lo suficientemente grande como para no poder compensarse con la disminución de la resistencia del perfil y, por lo tanto, la velocidad de caída no se puede reducir más. Las secciones de actuación actuales tienden a un promedio alrededor de 5-5 a 6-5% de espesor. Se realizó una prueba reciente de este parámetro, en la que la sección utilizada en el planeador tenía un espesor de solo 4-2% (otros parámetros del perfil aerodinámico y el alargamiento eran promedio), pero la duración promedio en "aire en calma" se mantuvo en solo 155 segundos.

Sin embargo, sabemos que aumentar la curvatura medio aumenta la sustentación, hasta un

cierto grado. Por lo tanto, se estudió una combinación de variables para gráficos adicionales.

Relación espesor/curva media

El Gráfico No. 2 muestra la gráfica de la relación Espesor-Curva Media con la tasa de velocidad de caída. Ahora, se muestra un patrón distinto. Parece haber una relación definida respaldada por un coeficiente de correlación algo mayor, pero aún no estadísticamente significativa. Una disminución en esta relación muestra una disminución en la velocidad de caída.

Espesor/Curva media/Posición de la curva media

El Gráfico No. 3 introduce la posición de la curva media en la relación espesor/curva media, para determinar si este parámetro tiene o no algún efecto distinto sobre la velocidad de caída. Del Apéndice II, se determinó un Factor de Curvatura (C) o coeficiente para cada sección del perfil aerodinámico (es decir, Curva Media/Posición de la Curva Media). Como se puede observar, el coeficiente de correlación ha aumentado  (0,91) de modo marcado. Por lo tanto, podemos suponer que la posición de la curvatura media tiene un pequeño efecto sobre la tasa de caída, cuando se usa junto con las otras dos variables (espesor y curvatura media). Sin embargo, como se indicó anteriormente, la posición de la curva media por sí sola no tiene ningún efecto discernible. Más adelante se discutirán más detalles sobre la relación entre  curva media y la posición de la curva media.

En esta etapa, ya habíamos analizado todos los parámetros del perfil aerodinámico propiamente dicho.

Por lo tanto, el último parámetro restante que afectaba a la tasa de caída era el alargamiento.

Alargamiento

El Gráfico No. 4 es un gráfico del alargamiento/ Espesor/Curvatura media (Columna 7, Tabla I) frente a la tasa de caída o velocidad de descenso. La relación ahora se ha vuelto aún más significativa con un coeficiente de correlación de 0-94. Este gráfico puede ser utilizado con confianza en su precisión si se desea evitar las complicaciones añadidas del siguiente gráfico.

En este punto introdujimos nuevamente el factor Camber (C), y el final los resultados obtenidos se representan en el Gráfico No. 5 (Columna 10, Cuadro I). Este último gráfico indica un coeficiente de correlación de 0-97, que es bastante significativo desde el punto de vista estadístico. Se puede ver que el alargamiento tiene un efecto pronunciado sobre la velocidad de caída. Por lo tanto, decidimos utilizar el Gráfico No. 5 para nuestras conclusiones finales.

Ahora se puede ver que conociendo los parámetros del perfil aerodinámico y el alargamiento de cualquier diseño determinado, se puede hacer una evaluación muy rápida y bastante precisa de su tasa potencial de caída en “aire en calma”, en la etapa de diseño. Esto supone que se utilizará una sección que ya está en uso y, por lo tanto, la única variable para la que se podría diseñar es el alargamiento. Sin embargo, si uno desea diseñar su propia sección, entonces la fórmula le permitirá calcular los parámetros necesarios.

para lograr cualquier tasa de hundimiento deseada.

Del Gráfico No. 5 se puede observar que el Factor Crítico (K) necesario para lograr una tasa de caída de 0-911 pies/seg. (es decir, 180 segundos de duración) es 1-96. La fórmula necesaria para llegar a este valor es la siguiente:

T 

/

A/R = K

/

C

donde T = Espesor (% de cuerda); A/R = Alargamiento; C = curvatura Factor; K = Factor crítico

T/A/R/C= K  Espesor en % de la cuerda siempre dividido por el alargamiento y dividido por la curvatura media en % de la cuerda nos da el factor crítico que debe ser 1-96.

Por ejemplo, tome el planeador de muestra número 10 y sustituya los valores en la fórmula de la siguiente manera:

6-5/

16-9/ = 2-40

0-16

Ahora, sustituya este factor crítico de 2-40 por (x) en la siguiente ecuación de regresión lineal para determinar la velocidad de caída teórica:

y' = 0-630-|-0T43x donde y' = Velocidad de caída (pies/seg.)

Por lo tanto, y' = 0·630-|-0·143 (2.40)

y' = 0-973 pies/seg.

Ahora convierta la velocidad de caída en duración de la siguiente manera:

o = Duración (segundos) 164 = 168 segundos (teórico) 0-973

A partir de los datos de vuelo reales, la velocidad de caída es de 0 a 994 pies/seg., y la

La duración es de 165 segundos. (Véanse las columnas 9 y 8, respectivamente, Tabla I.) 

La velocidad de caída (y') se puede determinar directamente a partir del Gráfico No. 5 simplemente leyendo el valor de un factor crítico de 2-40, que es 0-973 pies /segundo.

La siguiente tabla compara la duración prevista de vuelo (desde 50 m de altura)  los planeadores de muestra con las duraciones reales observadas. Una prueba de chi-cuadrado sobre los valores previstos indica un grado muy alto de significación estadística. Esto se indica por el pequeño grado de variación entre los valores previstos y observados en la mayoría de los casos.

Tenga en cuenta que la media predicha y la media observada, para todos los planeadores, son prácticamente idénticas. 

Se debe hacer una nota aquí para aquellos que deseen diseñar su propia sección de perfil aerodinámico junto con la fórmula. La fórmula no permitirá determinar un valor exacto para las variables Grosor y Curvatura media/Ubicación de la curvatura media y Alargamiento, pero se pueden establecer ciertos límites para ambos dentro de los cuales deben estar estos valores.

Volviendo al ejemplo anterior del Planeador No. 10, vimos que:

Espesor o grosor 6-5

Alargamiento = 16*9 = 2-40

Factor de caída -16

(Tenga en cuenta que estamos tratando de reducir nuestro valor de factor crítico de 2 a 40 para lograr una tasa de velocidad de caída óptima de 0 a 911 pies/seg.) 

Por lo tanto, analicemos cada variable por separado. Solo con respecto al grosor, se puede ver fácilmente que disminuyendo el mismo (digamos de 6-5 % a 6 %) y manteniendo las otras variables constantes (es decir, el alargamiento en 16-9 y el factor de inclinación en -16), obtendremos la posibilidad de disminuir el factor crítico a 2-22. Además, como hemos mencionado anteriormente, debemos mantenernos dentro de los límites de Espesor del 5-5% al 6-5%.

A continuación, mantengamos constantes las variables Grosor y alargamiento, y cambie el valor del factor de inclinación. Aumentar este valor también reducirá nuestro factor crítico y, en consecuencia, nuestra tasa de caída. Sin embargo, primero se debe realizar un análisis de las dos variables que componen el factor de caída (es decir, caída media y ubicación del mismo). Los límites de la curvatura  media, para veleros de alto rendimiento, deberían estar en el orden del 7% al 8%, y preferiblemente dentro de la región más estrecha del 7-5% al 8%. Sabemos que la sustentación aumenta al aumentar

significativamente la curvatura, pero también lo hace la resistencia. Además, la caída media debe examinarse junto con la ubicación de la misma, ya que ambas están interrelacionadas y ambas también tienen un efecto definitivo sobre el factor de estabilidad. En otras palabras, sabemos que al aumentar la caída media y mover la ubicación de la caída media hacia atrás, aumentamos el recorrido del centro de presión. También sabemos que, a la inversa, una reducción en la inclinación media o un desplazamiento de la ubicación hacia adelante nos permite utilizar menos área del plano de cola para controlar el recorrido del centro de presión. Dado que estamos diseñando para alto rendimiento, por necesidad el área de nuestro plano de cola debe mantenerse al mínimo (digamos 65 pulgadas cuadradas). Esto significa que nuestro curvatura media no debe exceder el 8% y nuestra ubicación de la misma debe mantenerse lo más adelante posible. La siguiente tabla servirá para ilustrar estos puntos (ver también el Apéndice II).

Los límites actuales para los planeadores de alto rendimiento, para la ubicación de la curva media cae entre el 40% y el 45%. Volviendo a nuestro ejemplo del Planeador No. 10, vemos que la Curvatura Media actual es del 7-62%, ubicado en el 41%. 

Se ha dicho anteriormente que aumentar el factor de caída reducirá nuestra velocidad de caída. Por lo tanto, si aumentamos nuestro Factor de Curvatura de 0-16 a 0-17, y mantenemos nuestra ubicación en 41%, entonces este cambio requerirá un aumento en la Curvatura Media a aproximadamente 8-25%. Sin embargo, dado que hemos establecido el límite superior en 8%, entonces el único cambio que tenemos disponible es mover la ubicación hacia atrás para el 44%. En términos generales, la tabla anterior muestra que mantener la ubicación constante y aumentar el factor de inclinación requiere un aumento en la inclinación media. Por lo tanto, refiriéndonos una vez más al planeador número 10, estamos limitados en la cantidad a la que podemos aumentar el factor de inclinación. En este caso, un aumento de 0-16 a 0-17. Un valor superior a 0-17 requeriría un aumento extremo en la curvatura media por encima del 8%, lo que, por supuesto, va en detrimento de nuestros requisitos.

Examinemos ahora el efecto del cambio de alargamiento y mantengamos espesor y Factor de Curvatura constantes. Naturalmente, aumentar el alargamiento disminuirá nuestro factor crítico y, por tanto, también nuestra velocidad de caída. La siguiente tabla indica el alargamiento que se requeriría para lograr una duración de 180 segundos (es decir, una velocidad de caída de 0-911 pies/seg.) con cada uno de los planeadores de muestra, si los parámetros de espesor y factor de curvatura permanecieran como actualmente se encuentran en las columnas 2 y 6 del cuadro I. p.e. Planeador nº 1:

Espesor 6-1 donde x = Alargamiento

Alargamiento = x =1-96 y 1 -96 = Factor crítico (K) para

Factor de inclinación 0-17 0-911 pies/seg.

x—18-3

Planeador No. Alargamiento requerido

Como se puede observar claramente, y para la mayoría de los planeadores mencionados anteriormente, un aumento del alargamiento hasta la magnitud que se muestra, para lograr 0-911 pies/seg. de velocidad de caída, no sería factible. Esto se debe al hecho de que normalmente hay una combinación incorrecta de los parámetros de espesor y factor de curvatura. Con referencia a las columnas 2 y 3 de la Tabla I, se puede ver que en la mayoría de los casos, el espesor por sí solo suele ser un porcentaje demasiado alto, la curvatura media por sí sola es demasiado baja (o la ubicación de la curvatura media está demasiado atrás) o puede ser una combinación de todos los parámetros. Por lo tanto, se requeriría un rediseño del perfil o una nueva sección y, como se mencionó anteriormente, esto requeriría una disminución del espesor, un aumento de la curva media, una reubicación hacia delante de la posición de la curva media o una combinación de todo. Ahora se descubrirá que, una vez hecho esto, se requiere el aumento del alargamiento para alcanzar 0-911 pies/seg. se reduciría considerablemente, p.e. Planeador nº 10

a) Parámetros actuales:

6-5 (T)

16-9 (A/R)

■16 (C) = 2-40 (Factor crítico)

— Relación de aspecto actual requerida para 0-911 pies/seg.

(consulte la tabla anterior = 20-7.

(6) Con parámetros rediseñados de Espesor y Factor de curvatura :

6 0

A/R — 1-96 donde -17 = 8% curvatura media al 44%

ΤΓ

.·. El A/R (alargamiento) requerido ahora sería = 18Ό

El alargamiento puede variarse para adaptarse al tipo de planeador previsto, ya sea del tipo “viento en calma” o “turbulento”. Tenga en cuenta que al disminuir la cuerda por debajo de 6 pulgadas, se puede encontrar que el perfil aerodinámico en particular puede operar de manera subcrítica en este rango bajo del número de Reynolds y, por lo tanto, la sustentación puede verse afectada drásticamente.

Esto no quiere decir que una cuerda de 6 pulgadas sea la línea divisoria, ya que muchas secciones operan eficientemente con anchos de cuerda menores que esto.

A continuación se sugiere un marco inicial para los parámetros de planeadores de alto rendimiento:

1. Espesor: debe mantenerse entre 5-5 % y 6-5 %.

2. Curvatura media: debe limitarse a entre 7-2 % y 8 %.

3. Ubicación de la curvatura media: debe estar sobre el 39 % 

4. Alargamiento: superior a 15-1, pero de 180 segundos de duración o más, al menos 20:1.

Resumen

El estudio de perfiles aerodinámicos de tamaño completo y métodos de características de los modelos, aunque proporciona cierta información sobre las características importantes para el desempeño del A-2, solo tiene una aplicabilidad limitada debido al hecho de que los efectos del número de Reynolds y la falta de datos de investigación adecuados hacen imposible el análisis directo. Sin embargo, se pueden señalar algunos puntos válidos, basados en dicha experiencia, es decir:

1. Las propiedades de entrada en pérdida del perfil aerodinámico y las relaciones CL-C D dependen de muchos parámetros interrelacionados, que incluyen:

(a) radio del borde de ataque

(b) ángulo del borde de salida

(c) espesor cerca del bode de ataque (digamos t/c 5%). '

(d) posición en sentido de la cuerda del valor máximo y forma real de la línea de curvatura

(e) la distribución del espesor, el valor máximo y la ubicación en sentido de la cuerda

(/) Número de Reynolds

g) acabado superficial.

2. Las relaciones entre los parámetros del ala y el perfil aerodinámico derivados de nuestros datos

reflejan su asociación con la duración, que en este caso es una cifra de desempeño “general”. Por lo tanto, las duraciones previstas son susceptibles de cierta variación. Sólo realizando una prueba controlada sería posible extraer y aislar relaciones de parámetros que serían relativamente insensible a la variación. El siguiente podría ser un método propuesto para predecir el rendimiento del A-2. Un análisis riguroso para derivar las características del perfil aerodinámico a partir de una prueba de vuelo:

(a) cambiar sólo la sección del perfil aerodinámico con un alargamiento fijo, manteniendo constante el resto de la geometría del modelo

(b) tener un tipo uniforme de estructura para cada sección del ala

(c) probar los modelos de forma controlada (es decir, pruebas de hangar, lanzamiento con catapulta, con velocidad y tasa de caída definidas entre 1 y 2%

(id) las pruebas para varios alargamientos serían un problema ya que idealmente los modelos deberían tener una estabilidad longitudinal similar y esto implicaría variar el brazo/área de la cola de alguna manera.

Por lo tanto, la prueba controlada definida anteriormente y las obvias y complejas interrelaciones involucradas en la tasa mínima de caída de un modelo sugieren algunas posibles deficiencias de nuestros resultados:

(a) La velocidad de caída o descenso es una cantidad derivada (no directamente mensurable), y

asume la altura total de la línea de lanzamiento y se suelta en condiciones de planeo. Por supuesto,

Dependiendo de la estructura del material de la línea, la longitud puede ser menos de 164 pies.

(b) La variación en las proporciones del modelo, área de la cola, brazo de la cola, limpieza del modelo, tipo de estructura del ala (pandeo del tejido con la superficie de lámina o larguero encajado), indica que los efectos de la geometría del perfil aerodinámico serían difícil de desentrañar.

(c) El factor de caída tal como lo obtuvo originalmente Beuermann* probablemente relacionado con la estabilidad longitudinal así como con el rendimiento del perfil aerodinámico, por lo tanto incluirlo directamente en cualquier ecuación de rendimiento podría ser cuestionable. Los cambios en la geometría de la cola deberían permitir una estabilidad similar, características que se pueden lograr con (casi) cualquier perfil aerodinámico.

Posiblemente hayamos establecido una tendencia más que una relación absoluta, y sólo más pruebas controladas proporcionarán la respuesta. Sin embargo, la fórmula es muy alentadora por su alta precisión de previsibilidad y, por lo tanto, tal vez, para el constructor de planeadores común, su uso sería suficiente para sus propósitos en las etapas de diseño. Es nuestra opinión que los métodos empíricos siempre sustituirán a los trabajo puramente teórico en el campo de los planeadores a escala, debido a las altas tolerancias asociadas con los planeadores a escala per se.

* Aeromodeller Annual 1961-62

APÉNDICE 3

Descripción de la muestra

Se seleccionó una muestra aleatoria de veintiún planeadores A2. Se tomaron nota de los parámetros básicos de la sección del perfil aerodinámico utilizado, junto con  el alargamiento del ala misma. Era especialmente deseable que se seleccionaran máquinas bien voladas para el análisis, ya que la observación de la duración media de cada uno se reflejaría con mayor precisión en una serie de tiempos observados, tendiendo así a eliminar cualquier sesgo que pueda haber estado presente debido a la elevación y la corriente descendente. Por supuesto, habrá algún sesgo en la medición real de los parámetros de la sección del ala, pero esto será estadísticamente insignificante. Además, existe cierto sesgo en el sentido de que las duraciones medias observadas se redondean a los 5 segundos más cercanos.

Todos los coeficientes de correlación (r) se indican en los gráficos y son significativos con un nivel de probabilidad del 95%. La prueba F de linealidad indica que un ajuste en línea recta para los datos es bastante representativo, también en un nivel del 95%. Finalmente, una prueba de chi-cuadrado sobre los valores de duración previstos y observados es significativa a un nivel del 99%.

El coeficiente de correlación de 0-97 para el gráfico final no es perfecto (1-00) debido a varias razones. Es posible que aún falten otras variables en la fórmula final, y además la muestra tomada es bastante pequeña en comparación con el universo de planeadores. Además, existen diferencias particularmente detalladas entre los planeadores en cuanto a la construcción, la geometría de la cola y la resistencia de otras partes además del ala. Es poco probable que una muestra más grande tomada indique una correlación aún mayor, a menos que se utilizaran modelos y construcciones similares. Una muestra más grande sólo presentaría resultados estadísticamente más significativos.

Los límites de predicción de la duración prevista (o velocidad de caída o descenso) para el modelo teórico son del orden de + 7% con un nivel de probabilidad del 95%. En otras palabras, con un factor crítico de 1-96, el rango para una tasa velocidad de caída de 0-9111 pies/seg. es de 0-8465 a 0-9757 pies/seg.

Para cualquier modelo determinado, los límites de predicción variarán de los indicados anteriormente según el factor crítico calculado para ese modelo determinado.

Páginas 74-88 del Aeromodeller  Annual 70-71