Sus estrechos lazos se revelan cuando sumas sus divisores propios, es decir, los números que los dividen exactamente sin contarse a sí mismos. Mira lo que pasa:
Los divisores de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44 y 55, y suman 284.
Los divisores de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, y suman 220.
Cada uno guarda la identidad exacta del otro. Esa es, en esencia, la definición de números amigos: un par de cifras en el que la suma de los divisores propios de la primera da como resultado la segunda, y viceversa.
No sabemos con exactitud cuándo se descubrió este vínculo, pero tenemos una pista temprana: la primera referencia escrita que se conserva es de Jámblico de Calcis, filósofo neoplatónico sirio de los siglos III-IV d.C.
Jámblico, le atribuyó el hallazgo a Pitágoras –como solían hacer los pitagóricos con casi cualquier descubrimiento matemático–, y citó al maestro diciendo "un amigo es otro yo", una relación que, según comentó, "se observa en estos números".
Hablaba precisamente de 220 y 284, el primer par descubierto y, durante siglos, el único conocido.
Para los pitagóricos, fascinados por la aritmética y su dimensión filosófica, era una representación numérica de la amistad, y ese simbolismo no se quedó encerrado en los tratados de matemáticas, aunque se tratara de la teoría de los números, una de las ramas más puras de la ciencia.
Ante dos entidades separadas que, por su naturaleza interna, se completan perfectamente la una a la otra, no es de extrañar que se les imbuyera de significado, mística y mito, cargándolas de deseos y esperanzas.
Incluso cuando llegaron tiempos más racionales, estos pares siguieron atizando las pasiones de brillantes matemáticos rivales.
Protagonizaron, además, un caso fascinante de simultaneidad científica, cuando dos pares fueron descubiertos dos veces en la historia en lugares remotos geográfica y culturalmente.
Fraternidad, amistad y amor
Uno de los lugares más sorprendentes en los que se rastreó el secreto que guardaban estos números fue la Biblia.
Así imaginó el artista neerlandés Jan Victors a Jacob pidiéndole perdón a Esaú, 1652.
Jacob con turbante dorado y abrigo vino tinto con dorado, barba y cabello largo, arrodillado, con una mano en el pecho y en la otra asiendo un bastón. Al lado izquierdo se ven varias personas, y más claramente una mujer bajo una sombrilla cargando a un bebé y otra sentada en el piso en primer plano, alimentando a una niña.
Místicos cabalistas resaltaron que, cuando Jacob estaba por reencontrarse con Esaú –el hermano al que había arrebatado la primogenitura y que 20 años atrás había jurado matarlo–, le envió un regalo descomunal, que incluía rebaños enteros de cabras, ovejas, camellos, vacas y asnos.
Entre ellos, dos cifras llaman la atención: 200 cabras y 20 machos cabríos, es decir, 220 animales; y, por separado, 200 ovejas y 20 carneros, otros 220.
¿Casualidad? Los comentaristas judíos no lo creyeron así.
La interpetación de Rav Nachshon Gaón, quien dirigió la academia rabínica de Sura (actual Irak) en el siglo IX, decía: "Jacob, nuestro padre, preparó su regalo de manera sabia (...) el número 220 es un secreto oculto (...) Y Jacob tenía esto en mente; esto ha sido probado por los antiguos para asegurar el amor de reyes y dignatarios".
Según la lectura mística, Jacob estaba enviando un conjuro numérico. Al recibir el 220, el alma de Esaú activaría –sin saberlo– su mitad recíproca, el 284: el afecto, la reciprocidad, el perdón fraterno.
La idea de que estos números podían inducir cariño, no solo simbolizarlo, viajó también al mundo islámico.
El historiador Ibn Jaldún, en su Muqaddima (1377), señaló: "Los practicantes de la magia talismánica afirman que los números amigos 220 y 284 tienen una influencia para establecer una unión o una amistad muy fuerte entre dos personas".
En el influyente grimorio "Libro de Picatrix" (originalmente titulado Ghāyat al-Ḥakīm, "El objetivo del sabio" y escrito alrededor del año 1000), el autor llevó la receta a la práctica.
El texto describe cómo fabricar dos talismanes bajo una configuración astrológica favorable -con la Luna y Venus en posición propicia-, grabar el 220 en uno y el 284 en el otro, y enterrarlos juntos para sellar "un amor eterno y una afección muy fuerte".
Y, hablando del arte de usar esos números "para realizar cálculos relacionados con el amor", indicó además que cuando dos personas consumían o bebían esos números, "entablaban una gran amistad y se volvían mutuamente gratas".
"Si se tallaban dichos números en madera y se marcaba con ellos pan o cualquier otro alimento para ofrecérselo a alguien, esa persona sentiría un gran amor y deleite hacia quien se lo daba, continuó.
"Si se llevaban escritos en la ropa, las prendas no podían ser arrebatadas a su dueño; y si se plasmaban en estandartes colocados en la calle para atraer clientela, lograban atraer negocios hacia uno".
Detalló además el método para conquistar a la persona deseada: plasmar los números en la comida, comerse uno mismo el mayor y darle a la otra persona el menor; o darle 220 pasas o semillas de granada y consumir uno mismo 284.
El autor, cuya identidad es desconocida, aseguró haber probado el método "muchas veces" y haber "encontrado verdad en ello".
Fragmento de dos páginas de la obra conocida en la Europa medieval como el Picatrix
Místicos cabalistas resaltaron que, cuando Jacob estaba por reencontrarse con Esaú –el hermano al que había arrebatado la primogenitura y que 20 años atrás había jurado matarlo–, le envió un regalo descomunal, que incluía rebaños enteros de cabras, ovejas, camellos, vacas y asnos.
Entre ellos, dos cifras llaman la atención: 200 cabras y 20 machos cabríos, es decir, 220 animales; y, por separado, 200 ovejas y 20 carneros, otros 220.
¿Casualidad? Los comentaristas judíos no lo creyeron así.
La interpetación de Rav Nachshon Gaón, quien dirigió la academia rabínica de Sura (actual Irak) en el siglo IX, decía: "Jacob, nuestro padre, preparó su regalo de manera sabia (...) el número 220 es un secreto oculto (...) Y Jacob tenía esto en mente; esto ha sido probado por los antiguos para asegurar el amor de reyes y dignatarios".
Según la lectura mística, Jacob estaba enviando un conjuro numérico. Al recibir el 220, el alma de Esaú activaría –sin saberlo– su mitad recíproca, el 284: el afecto, la reciprocidad, el perdón fraterno.
La idea de que estos números podían inducir cariño, no solo simbolizarlo, viajó también al mundo islámico.
El historiador Ibn Jaldún, en su Muqaddima (1377), señaló: "Los practicantes de la magia talismánica afirman que los números amigos 220 y 284 tienen una influencia para establecer una unión o una amistad muy fuerte entre dos personas".
En el influyente grimorio "Libro de Picatrix" (originalmente titulado Ghāyat al-Ḥakīm, "El objetivo del sabio" y escrito alrededor del año 1000), el autor llevó la receta a la práctica.
El texto describe cómo fabricar dos talismanes bajo una configuración astrológica favorable -con la Luna y Venus en posición propicia-, grabar el 220 en uno y el 284 en el otro, y enterrarlos juntos para sellar "un amor eterno y una afección muy fuerte".
Y, hablando del arte de usar esos números "para realizar cálculos relacionados con el amor", indicó además que cuando dos personas consumían o bebían esos números, "entablaban una gran amistad y se volvían mutuamente gratas".
"Si se tallaban dichos números en madera y se marcaba con ellos pan o cualquier otro alimento para ofrecérselo a alguien, esa persona sentiría un gran amor y deleite hacia quien se lo daba, continuó.
"Si se llevaban escritos en la ropa, las prendas no podían ser arrebatadas a su dueño; y si se plasmaban en estandartes colocados en la calle para atraer clientela, lograban atraer negocios hacia uno".
Detalló además el método para conquistar a la persona deseada: plasmar los números en la comida, comerse uno mismo el mayor y darle a la otra persona el menor; o darle 220 pasas o semillas de granada y consumir uno mismo 284.
El autor, cuya identidad es desconocida, aseguró haber probado el método "muchas veces" y haber "encontrado verdad en ello".
Fragmento de dos páginas de la obra conocida en la Europa medieval como el Picatrix
Cuando estos tratados árabes y las traducciones de la aritmética griega llegaron al latín medieval y renacentista, algunos eruditos dejaron de llamarlos simplemente numeri amicabiles –números amigos– y empezaron a referirse a ellos como numeri se invicem amantes: números que se aman mutuamente.
Así, 220 y 284 habían dejado de ser un ejemplo aritmético de la amistad pitagórica para convertirse, en la imaginación popular, en el equivalente numérico de una pareja de amantes.
Uno más grande y otro, gigantesco
Cuenta una leyenda que un sultán aficionado a los acertijos descubrió que tenía entre sus prisioneros a un matemático. Le propuso un trato: si le planteaba un problema imposible de resolver, quedaría libre hasta el día en que el sultán diera con la solución.
Ese día, sería ejecutado.
El matemático lo retó a encontrar un par desconocido de números amigos... y murió libre, de viejo.
Pero esa, como dijimos, es una leyenda.
Mientras esa aura mística seguía envolviendo a los números amigos, y en la Europa medieval dormían casi olvidados en los manuscritos, en Bagdad, Damasco y las cortes de Al-Ándalus ocurría lo contrario.
Entre los siglos VIII y XIV, el mundo islámico se convirtió en el gran guardián y motor del saber matemático: se tradujeron al árabe los textos griegos de Euclides, Nicómaco y Diofanto, se les sumaron los avances de la aritmética india, y de esa mezcla surgieron descubrimientos que iban mucho más allá de lo heredado.
Thābit ibn Qurra (826-901 d.C.), un matemático, astrónomo y traductor nacido en Harrán (actual Turquía) no se limitó a admirar a los amigos conocidos: quiso entenderlos, y en el proceso formuló un teorema general capaz de generar nuevos pares a partir de una fórmula.
Según los historiadores que han estudiado sus manuscritos originales, es muy probable que el propio Thābit haya encontrado un segundo par, hasta entonces desconocido: 17.296 y 18.416.
Siglos más tarde, dos matemáticos de rincones distintos del mundo islámico -Ibn al-Bannā, en Marruecos, y Kamāl al-Dīn al-Fārisī, en Persia- llegaron de forma independiente al mismo par, aplicando la fórmula de Thābit.
Ese día, sería ejecutado.
El matemático lo retó a encontrar un par desconocido de números amigos... y murió libre, de viejo.
Pero esa, como dijimos, es una leyenda.
Mientras esa aura mística seguía envolviendo a los números amigos, y en la Europa medieval dormían casi olvidados en los manuscritos, en Bagdad, Damasco y las cortes de Al-Ándalus ocurría lo contrario.
Entre los siglos VIII y XIV, el mundo islámico se convirtió en el gran guardián y motor del saber matemático: se tradujeron al árabe los textos griegos de Euclides, Nicómaco y Diofanto, se les sumaron los avances de la aritmética india, y de esa mezcla surgieron descubrimientos que iban mucho más allá de lo heredado.
Thābit ibn Qurra (826-901 d.C.), un matemático, astrónomo y traductor nacido en Harrán (actual Turquía) no se limitó a admirar a los amigos conocidos: quiso entenderlos, y en el proceso formuló un teorema general capaz de generar nuevos pares a partir de una fórmula.
Según los historiadores que han estudiado sus manuscritos originales, es muy probable que el propio Thābit haya encontrado un segundo par, hasta entonces desconocido: 17.296 y 18.416.
Siglos más tarde, dos matemáticos de rincones distintos del mundo islámico -Ibn al-Bannā, en Marruecos, y Kamāl al-Dīn al-Fārisī, en Persia- llegaron de forma independiente al mismo par, aplicando la fórmula de Thābit.
Thābit trabajó estrechamente con los eruditos de la Casa de la Sabiduría de Bagdad, manteniendo viva su llama intelectual. El capítulo se cerró con broche de oro a finales del siglo XVI, cuando el matemático persa Muhammad Baqir Yazdi calculó un tercer par, muchísimo más grande: 9.363.584 y 9.437.056.
Yazdi lo dejó registrado en su tratado Oyoun Alhesab ("Las fuentes de la aritmética"), sin sospechar qué estaba por venir en la historia de estos pares.
Dos grandes... rivales
En Europa, entretanto, no se sabía nada de esto: la única pareja de amigos conocidos era la descubierta hacía milenios en la Antigua Grecia, los originales 220 y 284.
Aunque Thābit ibn Qurra era un astrónomo muy respetado en la Europa medieval -bajo el nombre latinizado de "Thebit"-, el manuscrito donde explicaba su regla para hallar números amigos nunca se tradujo al latín, y quedó archivado en las bibliotecas de Medio Oriente y el norte de África.
En el siglo XVII llegó la Ilustración, y la razón se impuso sobre la mística. Pero eso no quiere decir que la pasión se apagara. Ya no era tanto por talismanes ni conjuros de amor, sino algo igual de intenso: el ego y la rivalidad de dos genios que no se soportaban.
Pierre de Fermat y René Descartes eran dos de las mentes matemáticas más brillantes de la Francia de su tiempo pero también polos opuestos en carácter y en método, lo que los llevó a protagonizar disputas ácidas por casi cualquier tema que ambos tocaran. La teoría de números y los números amigos no fueron la excepción.
En 1636, Fermat lanzó una bomba: anunció, a través de su amigo y correo científico Marin Mersenne, el descubrimiento de un segundo par de números amigos, ausente desde los tiempos de Pitágoras: 17.296 y 18.416.
Descartes, que jamás disimuló su poco respeto por la forma de hacer matemáticas de su rival y no estaba dispuesto a quedarse atrás, respondió dos años después con un golpe todavía más grande: tras una maratón de cálculos hechos a mano, anunció en 1638 un tercer par, muchísimo más descomunal: 9.363.584 y 9.437.056.
Retratos ovalados de Descartes y Fermat, ambos serios, con cabello oscuro hasta los hombros, bigote y con vestiduras vino tinto y negras, y grandes cuellos blancos.
Aunque Thābit ibn Qurra era un astrónomo muy respetado en la Europa medieval -bajo el nombre latinizado de "Thebit"-, el manuscrito donde explicaba su regla para hallar números amigos nunca se tradujo al latín, y quedó archivado en las bibliotecas de Medio Oriente y el norte de África.
En el siglo XVII llegó la Ilustración, y la razón se impuso sobre la mística. Pero eso no quiere decir que la pasión se apagara. Ya no era tanto por talismanes ni conjuros de amor, sino algo igual de intenso: el ego y la rivalidad de dos genios que no se soportaban.
Pierre de Fermat y René Descartes eran dos de las mentes matemáticas más brillantes de la Francia de su tiempo pero también polos opuestos en carácter y en método, lo que los llevó a protagonizar disputas ácidas por casi cualquier tema que ambos tocaran. La teoría de números y los números amigos no fueron la excepción.
En 1636, Fermat lanzó una bomba: anunció, a través de su amigo y correo científico Marin Mersenne, el descubrimiento de un segundo par de números amigos, ausente desde los tiempos de Pitágoras: 17.296 y 18.416.
Descartes, que jamás disimuló su poco respeto por la forma de hacer matemáticas de su rival y no estaba dispuesto a quedarse atrás, respondió dos años después con un golpe todavía más grande: tras una maratón de cálculos hechos a mano, anunció en 1638 un tercer par, muchísimo más descomunal: 9.363.584 y 9.437.056.
Retratos ovalados de Descartes y Fermat, ambos serios, con cabello oscuro hasta los hombros, bigote y con vestiduras vino tinto y negras, y grandes cuellos blancos.
¿Notaste que esos pares son los mismos que ya se habían descubierto?
Lo curioso -y lo que ninguno de los dos sabía- es que ambos habían llegado a sus descubrimientos redescubriendo, sin saberlo, la misma fórmula que Thābit ibn Qurra había formulado 700 años antes en Bagdad.
Es un fenómeno que en la ciencia se conoce como redescubrimiento independiente.
Y en este caso, pasarían casi tres siglos más antes de que el historiador holandés Jan Hogendijk confirmara, en 1985, lo que Fermat y Descartes nunca supieron: que los eruditos de Medio Oriente se les habían adelantado.
Pero, ¿Cómo es posible que dedujeran exactamente la misma fórmula?
Lógicamente...
No fue magia ni espionaje; fue la lógica de las matemáticas.
Tanto Thābit como Fermat y Descartes se inspiraron en Euclides, el gran geómetra de la Antigüedad. Los tres se preguntaron si la ingeniosa construcción que había ideado para los números perfectos podía adaptarse para generar números amigos.
En matemáticas, cuando mentes brillantes parten del mismo lugar con el mismo destino, la lógica suele llevarlas por el mismo rumbo, aunque las separen siglos, idiomas y fronteras.
Con todo, tras milenios de historia, seguían siendo apenas tres los pares de números amigos conocidos. Hasta que llegó Leonhard Euler.
En 1750, el matemático suizo publicó un artículo titulado De Numeris Amicabilibus, en el que describió un método mucho más elegante y sistemático para encontrar nuevos pares.
Y halló 59 números amigos más. Como escribió el historiador de las matemáticas William Dunham: "Él solo multiplicó por 20 la reserva mundial de números amigos".
Pero incluso a un genio como Euler se le escapó algo.
En 1866, un adolescente italiano de 16 años llamado Nicolò Paganini descubrió el par 1184, 1210 –el segundo más pequeño que existe, justo detrás de 220, 284–, uno que había pasado inadvertido para todos los grandes matemáticos.
Hoy, con la potencia de cálculo de las computadoras, se conocen más de mil millones de pares de números amigos. Sin embargo, después de casi 2.500 años, siguen guardando secretos que intrigan a los matemáticos.
Y, si te paseas por internet, aún puedes encontrar llaveros y dijes a la venta con corazones partidos en dos, y los números 220 y 284 grabados en cada mitad.
Tanto Thābit como Fermat y Descartes se inspiraron en Euclides, el gran geómetra de la Antigüedad. Los tres se preguntaron si la ingeniosa construcción que había ideado para los números perfectos podía adaptarse para generar números amigos.
En matemáticas, cuando mentes brillantes parten del mismo lugar con el mismo destino, la lógica suele llevarlas por el mismo rumbo, aunque las separen siglos, idiomas y fronteras.
Con todo, tras milenios de historia, seguían siendo apenas tres los pares de números amigos conocidos. Hasta que llegó Leonhard Euler.
En 1750, el matemático suizo publicó un artículo titulado De Numeris Amicabilibus, en el que describió un método mucho más elegante y sistemático para encontrar nuevos pares.
Y halló 59 números amigos más. Como escribió el historiador de las matemáticas William Dunham: "Él solo multiplicó por 20 la reserva mundial de números amigos".
Pero incluso a un genio como Euler se le escapó algo.
En 1866, un adolescente italiano de 16 años llamado Nicolò Paganini descubrió el par 1184, 1210 –el segundo más pequeño que existe, justo detrás de 220, 284–, uno que había pasado inadvertido para todos los grandes matemáticos.
Hoy, con la potencia de cálculo de las computadoras, se conocen más de mil millones de pares de números amigos. Sin embargo, después de casi 2.500 años, siguen guardando secretos que intrigan a los matemáticos.
Y, si te paseas por internet, aún puedes encontrar llaveros y dijes a la venta con corazones partidos en dos, y los números 220 y 284 grabados en cada mitad.
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