Integral I

MATEMÁTICAS. El agobio ante una ecuación: los alumnos españoles se contagian de la ansiedad matemática de maestros y familias.

El mundo de los números angustia al 37% de los escolares examinados en PISA y afecta más a las chicas. En las universidades, cada vez más cursos se acercan al plano socioafectivo de esta asignatura clave

El desarrollo de la ley Celaá planteó en 2021 un acercamiento “socioafectivo y de género” a las matemáticas y llovieron las chanzas en los medios de comunicación, las redes sociales (“Mamá, la integral y yo somos pareja”, ironiza un tuit) y entre los políticos de derechas. Sin embargo, las pruebas de diagnóstico educativo del informe PISA, hechas públicas en diciembre, han puesto de manifiesto que existe un gran problema de ansiedad matemática que sufren no solo los 31.000 examinados en España ―el 37% de estos escolares de 15 o 16 años dijo padecerla, frente al 17% de media en la OCDE―, sino la sociedad en su conjunto. España se posiciona así como el segundo país con el porcentaje de ansiedad más alto de Europa, solo por detrás de Italia (39%), frente al 14% en Portugal o el 12% en Dinamarca. Diversos estudios internacionales demuestran que muchos padres que se consideran “de letras” contagian su desazón a los hijos, que se agobian delante de una ecuación, y muchos maestros (sobre todo ellas) reconocen su temor de enseñar, por ejemplo, cálculo o geometría en 5° o 6° de primaria. Por eso, cada vez más iniciativas tratan de poner freno a esta angustia entre maestros, estudiantes de Educación y familias interesadas.

“Si soy profesora de primaria y estoy dando clase de Ciencias Sociales y digo ‘pero luego hay que hacer mates’, transmito la actitud de que a mí tampoco me apetece mucho”, reflexiona la ingeniera Belén Palop, profesora de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad Complutense de Madrid. “Y luego tenemos la parte de que si un niño suspende Lengua o Música está mal, pero si es Matemáticas se disculpa: ‘No pasa nada cariño, a mí tampoco se me daba bien’. Socialmente está permitido. Colocamos en otro lado las mates”.

El 46% de los escolares españoles expresaron en el cuestionario de PISA que les causaba “mucha tensión” los deberes de Matemáticas e “indefensión” al 39%, mientras que al 76% le preocupaba sacar mala nota en esta asignatura. Los países con bajas tasas de ansiedad han obtenido buenos resultados matemáticos en PISA (Corea), Suiza o Estonia.

El ansia paraliza más a las chicas (un 50% más), que en sus valoraciones demuestran siempre menos autoconfianza que ellos ―aunque sean ellas las que han hecho bien el ejercicio― y rinden menos ante la presión de los exámenes. Su inseguridad las lleva también ―pese a que abandonan menos los estudios y sacan mejor expediente― a no decantarse por carreras técnicas, que suelen tener unos sueldos más altos que los de las ramas de las ciencias sociales y humanidades.

Para mejorar en matemáticas es necesario no creer que ser bueno es un don innato e invariable. Lo que los expertos llaman tener “mentalidad de crecimiento”, es decir, sostener que las habilidades y la inteligencia de uno se puede desarrollar con el tiempo. “Los españoles tenemos una mentalidad de crecimiento en el deporte ―si sales a correr, mejoras tu forma física―, en la alimentación… y absolutamente fija en las matemáticas”, prosigue Palop. “Soy así. No las entiendo ni las entenderé. Con seis años, se dice: ‘No eres bueno en matemáticas’; cuando en inglés te dirían que aún no le has cogido el tranquillo”.

En 2012, Patricia Pérez Tyteca analizó para su tesis doctoral el nivel de ansiedad matemática que mostraban los alumnos de la Universidad de Granada en carreras que incluían esta materia. No era un drama en Estadística, ingenierías, Química o Arquitectura. Mientras que expresaban una “ansiedad media” los que cursaban Biología, el doble grado de Ciencias Políticas y Derecho (que incluye mucha estadística) y Educación Primaria; y una “ansiedad medio-alta” los inscritos en Geología, Enfermería y Educación Infantil. Este desasosiego de los futuros maestros alarma a Pérez Tyteca y a todos los expertos. “Son los sujetos que se encargarán de la educación matemática de los niños, debiendo inculcarles el gusto y la sensación de comodidad con la materia tan fundamental a la hora de evitar futuros problemas de ansiedad”, subraya en su tesis la hoy profesora de la Universidad de Alicante.

Las iniciativas para quitar la ansiedad a los docentes no son nuevas, pero sí se van multiplicando, porque la ley Celaá explicita la necesidad de trabajar el sentimiento socioafectivo como uno de los seis bloques del currículo de matemáticas, pero los manuales de texto no explican cómo y los maestros, ya per se temerosos, tienen muchas dudas.

Las adolescentes ya no esconden que quieren ser ingenieras

Rocío Garrido, vicedecana de Ordenación Académica de la Facultad de Educación de la Universidad Autónoma de Madrid, imparte talleres desde 2018. Empezaron “haciendo acompañamiento” a los maestros y con el tiempo se han abierto a los estudiantes de los grados de Educación y a los claustros de colegios públicos y privados de la capital. Están al quite de quien expresa su ansiedad. Incluso, dos veces al mes celebran Picamates, un evento al que puede ir cualquiera que esté interesado. “En un contexto mucho más informal, ponemos algo de picoteo, llevamos juegos, materiales de papiroflexia, elementos de realización de 3D o escape rooms, nuestra acción estrella”. Garrido está convencida de que en un ambiente más distendido “es más fácil dejarse llevar, olvidarse de la frustración y buscar la solución matemática”. Pero en Picamates ponen a las personas “en contextos de frustración para poder acompañarlas”.

“Todo lo socioafectivo está muy manido porque estamos relacionando trabajarlo con bajar el nivel”, se lamenta Garrido. “Nosotros creemos que incluso se puede subir el nivel con ese acompañamiento socioafectivo [a los profesores]”. La vicedecana cree que esta es una formación “insuficiente y aislada”, pues la UAM la hace “de forma altruista: no está reglado”.

Curiosidad, admiración y seguridad

En la Universidad Complutense, sin embargo, Palop sí ha logrado, junto al profesor y mago Nelo Maestro, incluir un programa sin notas para los alumnos de primer curso del grado de Educación que ha tenido gran éxito. Tanto, que se plantean abrir un segundo grupo más adelante. “Vamos buscando el acrónimo CASA: curiosidad, admiración, seguridad y alegría. Queremos que se frustren, que se peleen con los problemas, pero que vean esa parte bonita de las matemáticas. Y esto, ¿por qué pasa?”, razona. Porque, sostiene, cualquiera puede mejorar en una disciplina. “Nadie va al gimnasio y, porque el primer día no pueda con las pesas, piensa que no sirve. ¿Y por qué sí con las matemáticas”.

Garrido y Palop se deshacen en elogios ante el desarrollo del nuevo currículo de matemáticas de Aragón, que plantea muy bien ese acercamiento socioafectivo. En esa comunidad se crearon grupos mixtos de profesores en activo de colegios, institutos y la Universidad de Zaragoza. Su currículum no solo enumera los saberes y competencias que hay que dominar, sino todo tipo de actividades para lograrlo y artículos y webs de referencia. “En primaria y secundaria se hace mucho énfasis en actividades de medida. Se le da sentido a la fracción midiendo tiras de papel. A partir de ahí, se comparan, se agregan…”, pone de ejemplo Pablo Beltrán-Pellicer, profesor de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad de Zaragoza. “Desde el punto de vista socioafectivo, se trabaja en grupo, que no en equipo. No hay un resultado final cooperativo, sino que se ayudan entre ellos, hablan de matemáticas… todos participan”.

“Las cosas que se recogen en el socioafectivo ya están recogidas en currículos anteriores. Lo que pasa es que estaban en un bloque de contenidos transversal que se ignoraba bastante”, reconoce Beltrán-Pellicer. El investigador ve “ciertas reticencias” en los alumnos y profesores a “cambiar la cultura del aula” que comprende, acostumbrados a “esperar la explicación del profe y limitar. No es fácil”.

En el plano familiar, Beltrán-Pellicer alaba el proyecto del Servicio de Orientación Educativa del Gobierno de Canarias, que desde 2018 celebra talleres formativos presenciales para padres. En ellos, los profesores les cuentan lo que ven en clase con sus hijos: resolución de problemas, algoritmos flexibles en primaria o álgebra manipulativa en secundaria, convencidos de que la familia y la escuela no pueden trabajar de forma aislada.

https://elpais.com/educacion/2024-01-06/el-agobio-ante-una-ecuacion-los-alumnos-espanoles-se-contagian-de-la-ansiedad-matematica-de-maestros-y-familias.html#?rel=lom

El número de alumnos de Informática y Matemáticas se dispara sin plantilla suficiente para formarles.

Las condiciones laborales para los profesores no son competitivas y las tesis han caído un 40% desde 2015, al tiempo que los estudiantes han crecido un 30% con la explosión de la ciencia de datos y la inteligencia artificial.

La demanda de matemáticos e informáticos no para de crecer en el mundo y en España pasa factura desde hace años a los institutos ―se quedan plazas desiertas porque no opositan a estos perfiles― y cada vez afecta más a las universidades, que se las ven y se las desean para contratarles. Los centros públicos no pueden competir en sueldos y los privados se ven forzados a pagar grandes sumas. El problema va a crecer, pues mientras... seguir en El País.

https://elpais.com/educacion/2023-10-16/el-numero-de-alumnos-de-informatica-y-matematicas-se-dispara-sin-plantilla-suficiente-para-formarles.html

La revolución matemática que se gestó en una granja de ovejas

Ventana al Conocimiento
Periodismo Científico
Tiempo 4 de lectura

El joven Newton retornó a los 23 años a su pequeña aldea natal de Woolsthorpe, en Lincolnshire (Inglaterra), huyendo de la peste bubónica que provocó el cierre de la Universidad de Cambridge y que llegó a matar a la quinta parte de la población de Londres. Y en la granja de ovejas de su familia, sin apenas contacto con el mundo exterior, realizó una de las hazañas intelectuales más asombrosas de la historia.

Retrato de Isaac Newton, una copia de una pintura de Sir Godfrey Kneller. Fuente: Wikimedia

En tan solo dos años, de 1665 a 1666, Newton desarrolló simultáneamente el cálculo diferencial e integral, además de sus teorías sobre la naturaleza de la luz y sobre la fuerza de la gravedad. Las nuevas herramientas matemáticas y físicas ideadas por el inglés en aquel corto periodo revolucionaron la ciencia de su época y son la base del mundo tecnológico actual.

El cálculo infinitesimal, aunque se engloba estrictamente en el ámbito matemático, ha resultado ser un lenguaje poderoso que permite describir las leyes de la naturaleza con una precisión asombrosa. Con las ideas de Isaac Newton (25 de diciembre de 1642 – 20 de marzo de 1726, según el calendario vigente entonces en Inglaterra) hoy se estudian el movimiento de nubes, los mares, las órbitas de satélites, las infecciones víricas, el diseño de vehículos, el crecimiento económico…

Newton concibió dos conceptos matemáticos revolucionarios: el de derivada e integral. La derivada se relaciona con la evolución en el tiempo de magnitudes como la velocidad y la aceleración. Es una tasa de cambio instantánea, que indica de qué manera (cómo de rápido) se están modificando las magnitudes. En geometría, la derivada permite calcular las pendientes de curvas y, en consecuencia, la recta tangente a una curva dada.

Por otro lado, la integral se emplea para calcular áreas y volúmenes, así como encontrar centros de gravedad de cuerpos. Lo sorprendente es que ambas nociones están relacionadas por una de las más bellas expresiones de las matemáticas, el teorema fundamental del cálculo infinitesimal, que afirma que la derivación y la integración son operaciones inversas; es decir, al aplicarlas sucesivamente se vuelve al valor de inicio.

La granja de la familia de Newton, en Woolsthorpe. Crédito: Hel-hama 

En 1669 Newton entregó a su mentor, Isaac Barrow, un manuscrito, De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, en el que aparecen por primera vez las bases del nuevo cálculo diferencial. En él, Newton expone un método aproximado para resolver ecuaciones, hoy llamado método de Newton-Raphson y enuncia y demuestra una fórmula para calcular para el área encerrada por una parábola generalizada. Esta expresión ya había sido hallada antes por otro matemático inglés, John Wallis (1616-1703), pero la novedad introducida por Newton radicaba en las técnicas usadas, que él llamaba “método de las fluxiones” y el “método del inverso de las fluxiones”.

MATEMÁTICAS PARA ESTUDIAR EL MOVIMIENTO

Su trabajo era, en la práctica, la primera aplicación del teorema fundamental del cálculo infinitesimal a un ejemplo concreto, que mostraba que los métodos de las tangentes (derivadas) y las cuadraturas (áreas, es decir, integrales) estaban inversamente relacionados entre sí.

La obra más importante de Newton en este tema fue De methodis serierum et fluxionum, publicada póstumamente en 1736. Allí introducía el concepto de fluente, como cantidad que varía respecto al tiempo, y el de fluxión, como su velocidad o la derivada con respecto al tiempo. Newton, además, desarrolló los algoritmos para el cálculo de fluxiones: las que actualmente conocemos como reglas para derivar sumas, productos, cocientes…, que estudiamos en los primeros cursos de bachillerato.

 También mostró cómo calcular el área de una curva, lo que actualmente se llama calcular la primitiva de una función (y que en su terminología era “obtener la fluente de una fluxión”). Asimismo, Newton aplicó su recién creado cálculo a problemas de máximos y mínimos. Y así logró resolver, uno a uno, los problemas que habían inquietado a todos sus antecesores: científicos como los italianos Bonaventura Cavalieri y Evangelista Torricelli; los franceses Gilles de Roberval, René Descartes, Pierre de Fermat, entre muchos otros, habían realizado trabajos en esa línea, dedicados a resolver problemas concretos de la física, pero sin haber llegado a encontrar una solución general como hizo Newton.

Sus dos nuevas herramientas (derivada e integral) se sumaban a las operaciones elementales de las matemáticas y eran idóneas para analizar el movimiento — y, por tanto, casi todos los fenómenos físicos. En base a estas ideas, Newton desarrolló toda una matemática nueva, el análisis matemático, que hoy en día sigue siendo una de las ramas más activas en la investigación.

UNA AMARGA POLÉMICA CIENTÍFICA
Sin embargo, el joven Newton no puso mucho empeño en difundir sus resultados. Aunque entregó su primer tratado a Isaac Barrow en 1669 y enviaron algunas copias a diferentes círculos matemáticos de Inglaterra, no fue publicado formalmente hasta 1711. Mientras tanto otro matemático, Gottfried Leibniz, había desarrollado una teoría equivalente. Cuando Newton recibió noticias de estos trabajos, tardó poco en reclamar su autoría del cálculo infinitesimal, lo que dio lugar a una amarga polémica que involucró incluso a sociedades científicas.

Lo cierto es que es posible que ambos llegaran a ideas parecidas en el mismo período. Ya a principios del siglo XVII se habían empezado a desarrollar métodos matemáticos que involucraban procesos infinitos para calcular áreas delimitadas por curvas o volúmenes, o para encontrar máximos y mínimos de ciertos problemas. El propio Newton admitió, en una carta a su colega (y rival) Robert Hooke: “Si he logrado ver más lejos, ha sido porque he subido a hombros de gigantes”.

Modestia aparte, el genio de Newton dejó una huella imborrable en el desarrollo de la civilización moderna, y su figura intelectual no ha tenido un igual, tal y como se lee en su epitafio: “¡Mortales, congratulaos de que un hombre tan grande haya existido para honra de la raza humana!”.

David Martín de Diego y Ágata Timón

https://www.bbvaopenmind.com/ciencia/matematicas/la-revolucion-matematica-que-se-gesto-en-una-granja-de-ovejas/

MATEMÁTICAS. De los hombres pájaro a los hermanos Wright: las matemáticas que nos ayudaron a surcar el aire La trigonometría y la geometría clásica han sido fundamentales desde el diseño de los trajes voladores hasta el desarrollo de los primeros aviones

La trigonometría y la geometría clásica han sido fundamentales desde el diseño de los trajes voladores hasta el desarrollo de los primeros aviones.

Primer vuelo de los hermanos Wright.NASA

En estos momentos hay entre ocho mil y veinte mil aviones surcando el cielo simultáneamente en el mundo. Cada uno de estos vuelos es posible gracias a las matemáticas, en aspectos que van desde la planificación del consumo del combustible al diseño y mejora de los aparatos. Los primeros vehículos que permitieron al ser humano alzarse sobre la superficie terrestre (globos aerostáticos, dirigibles, planeadores y aviones) se sustentaron en diversos conceptos geométricos, algebraicos o analíticos.  

En el siglo IX, los hombres pájaro se convirtieron en precursores de la aviación. Sin un soporte teórico y únicamente con la esperanza de poder volar, abrían las alas tejidas a sus trajes y se lanzaban de grandes alturas, fallando una y otra vez en el intento. Tras ellos, el primer vuelo en paracaídas, más o menos exitoso, fue realizado por el químico, físico y matemático Abbas Ibn Firnás (810, Ronda; 887, Córdoba) en ese mismo siglo, lo que sentaría las bases para los futuros diseñadores de aeronaves.

La trigonometría y la geometría clásica desempeñaron un papel esencial en el estudio de la aviación durante este primer periodo; permitieron a los pilotos y navegantes calcular distancias, ángulos y altitudes con mayor precisión. En concreto, fueron clave los métodos trigonométricos que el matemático árabe Al-Biruni había desarrollado entre los siglos X y XI para resolver problemas astronómicos y geodésicos, como la medición del radio de la Tierra.

Las primeras aeronaves que surcaron los cielos fueron las “más ligeras que el aire”, que se llenan con helio o hidrógeno, de manera que su peso total es menor que el peso del aire que desplazan. Ejemplos de estas aeronaves son el globo aerostático, cuyo primer vuelo fue realizado por los hermanos Montgolfier; y el dirigible, diseñado en Alemania por Ferdinard von Zeppelin. Para definir su diseño y estabilidad se usaron los estudios sobre proporciones y volúmenes que Leonardo Fibonacci había hecho en los siglos XII y XIII. También se emplearon sus trabajos sobre proporciones armónicas, para establecer las dimensiones de diferentes componentes de las aeronaves (como las alas, fuselajes u otros elementos), lo que dio como resultado diseños armónicos y estéticamente agradables.

En los siglos del XVIII al XIX, las investigaciones en geometría permitieron desarrollar perfiles de alas más eficientes. Un perfil aerodinámico es una forma geométrica, normalmente curva, en alas de aviones,  de helicópteros, alerones y timones, diseñada para optimizar el comportamiento de una superficie que interactúa con un flujo de aire, garantizando el menor arrastre (resistencia) posible causado por el viento.

Matemáticos como Daniel Bernoulli estudiaron la geometría de las alas y también otros aspectos estructurales, que buscaban lograr, por primera vez, el vuelo de una aeronave más pesada que el aire. Aunque no lo consiguió, el trabajo de Bernoulli fue clave para comprender la interacción existente entre el aire y los objetos. De hecho, uno de los teoremas que propuso se sigue empleando hoy en día en una de las explicaciones de por qué vuelan los aviones. Este determina cómo la velocidad del viento, al interactuar con las alas, causa una distribución de presiones que elevan un avión.

Ejemplo del principio de Bernoulli aplicado a un perfil aerodinámico asimétrico de un ala en contacto con el aire. Debido a la alta velocidad por encima del perfil, existe una presión baja en esta zona, mientras que hay baja velocidad y presión alta, debajo del mismo. Esta diferencia de presiones crea una fuerza de sustentación .Y.D.

Y.D. Otro enfoque frecuente para justificar el vuelo de las aeronaves recurre a la tercera ley de Isaac Newton: las partículas del viento son direccionadas hacia abajo, lo que causa la fuerza de levantamiento en el avión. Efectivamente, las leyes del movimiento y de la gravitación universal formuladas por Newton en el siglo XVII (una descripción matemática precisa de cómo los cuerpos se mueven en el espacio) fueron la base para establecer los principios del vuelo de los aviones en tiempos cercanos a su invención. Sin embargo, en la actualidad hay otras explicaciones más aceptadas, basadas en el uso de la dinámica de fluidos computacionales.

En 1799, el británico George Cayley desarrolló el perfil de ala simétrica, en el que la parte superior como la inferior son iguales, uno de los primeros perfiles aerodinámicos reconocidos. Sin embargo, el verdadero avance en el diseño de perfiles aerodinámicos no se produjo hasta finales del siglo XIX, con nuevas investigaciones exhaustivas sobre la aerodinámica de las alas. Fue entonces cuando Otto Lilienthal realizó numerosos vuelos en planeadores (aeronaves diseñadas para volar sin motor). A través de sus experimentos, recopiló datos y refinó perfiles aerodinámicos que maximizaban la sustentación y minimizaban la resistencia.

Palas de un motor turbofán moderno. En el centro del motor se aprecia una espiral sobre una forma cónica utilizada para ahuyentar aves durante el vuelo.JORGE LÁSCAR

Unos años más tarde, en 1903, los hermanos Wright fueron los primeros en lograr el vuelo motorizado controlado. Su trabajo, basado principalmente en experimentos con túneles de viento, es la base en la comprensión de la forma de las palas en los motores turbofán, los más utilizados en los aviones comerciales actualmente. Este tipo de motores contiene un ventilador de gran tamaño que comprime el aire entrante, el cual es mezclado con combustible, generando gases de alta velocidad que son expulsados para propulsar la aeronave. El diseño óptimo de la geometría de estos vehículos permite reducir la resistencia del aire, ahorrando combustible, reduciendo el ruido de los motores y evitando turbulencia durante los vuelos.

Desde comienzos del siglo pasado, la industria aeronáutica ha evolucionado de manera abrupta gracias al uso de herramientas teóricas y computacionales, diversos teoremas, ideas y teorías matemáticas que se emplean en el análisis y la optimización de diversos aspectos de la aviación. A esto dedicaremos un siguiente artículo de Café y Teoremas.

Yoshua Díaz Interian es investigador predoctoral en el Instituto Politécnico Nacional (México).

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

https://elpais.com/ciencia/cafe-y-teoremas/2023-08-25/de-los-hombres-pajaro-a-los-hermanos-wright-las-matematicas-que-nos-ayudaron-a-surcar-el-aire.html

Joseph Fourier, el matemático reclutado por Napoleón que disparó su propia revolución cuando se enamoró del calor. Marcus du Sautoy, matemático

FUENTE DE LA IMAGEN,SCIENCE PHOTO LIBRARY

Pie de foto,

La revolución francesa le permitió brillar a Fourier.

El calor cambió su vida y la de los que vinimos después.

En marzo de 1798 el matemático Joseph Fourier recibió una misteriosa citación del Ministerio del Interior de la Francia posrevolucionaria:

"Ciudadano: el directorio ejecutivo, que tiene una necesidad particular de sus talentos y de su fervor, acaba de disponer de usted por el bien del servicio público. Debe prepararse y estar listo para partir apenas reciba la orden".

Dos meses después, Fourier zarpó hacia Egipto, reclutado por Napoleón Bonaparte junto con 30.000 soldados y más de 100 académicos, pues Napoleón creía que el poder intelectual era tan importante como el poderío militar.

Y Fourier era un joven republicano que creía que los matemáticos nunca deberían olvidar su papel como sirvientes de la revolución francesa.

Para él, el valor real de las matemáticas era su utilidad para la sociedad. Y su innovadora Teoría del Calor efectivamente resultó ser muy útil: condujo a una nueva forma de entender no solo el calor, sino también la luz y el sonido.

Innoble
Joseph Fourier, el hijo huérfano de un sastre, descubrió el mágico mundo de las matemáticas cuando era un adolescente.

En su internado militar, recogía cabos de velas para poder estudiar en la noche mientras los otros niños roncaban.

Sabía que era bueno, y se comparaba con los mejores:

"Ayer cumplí 21 años; a esa edad Pascal y Newton ya habían alcanzado varias veces la inmortalidad", señaló.

Quiso unirse al ejército, pero su solicitud fue denegada.

"Fourier, por no ser noble, no puede ingresar a la artillería así sea el mejor después de Newton".

Pero la revolución francesa de 1789 —que él apoyó— cambió todo.

La aritmética republicana

La revolución francesa le permitió brillar a Fourier.

La nueva república en Francia fundó nuevos centros de aprendizaje para cultivar a los nuevos pensadores de esa era revolucionaria; algunos incluso tenían su propio uniforme militar.

El único criterio para elegir a los estudiantes era la inteligencia y el conocimiento. A nadie —se pensaba— se le debía negar un lugar por falta de fondos.

Y de todas las disciplinas, las matemáticas y la ciencia eran las más apreciadas.

La enseñanza de la "aritmética republicana" era elogiada.

"Ciudadano: la revolución no solo mejora nuestra moral y allana el camino para nuestra felicidad y la de las generaciones futuras, sino que además libera el progreso científico de los grilletes que lo frenan".

El talento de Fourier, no solo como matemático sino también como maestro, no pasó desapercibido.

Fue nombrado director de educación matemática en la nueva École Polytechnique, donde por primera vez fue posible recibir clases de matemáticas enseñadas por quienes las estaban creando.

Las conferencias matemáticas eran un espectáculo. Los profesores tenían que dar sus conferencias de pie, sin notas ni un escritorio tras del cual esconderse. El diálogo y el debate entre el profesor y los estudiantes era más que bienvenido.

En ese ambiente, Fourier, en particular, prosperó gracias a que tenía "una voz fuerte y es activo, ingenioso y muy erudito", según su tutor Joseph-Louis Lagrange, el matemático y astrónomo de la Era de la Ilustración italiana.

Bajo el sol del desierto

La batalla de las Pirámides, 21 julio 1798, puso fin a 700 años de mandato mameluco en Egipto.

Las habilidades oratorias de Fourier, que habían sido utilizadas para defender la revolución política, fueron luego empleadas en la propagación de una revolución matemática.

Gracias a ello, Napoleón se enteró de su existencia y recibió esa misteriosa convocatoria para zarpar hacia Egipto.

Pero tras la Batalla de las Pirámides, Napoleón regresó a Francia y Fourier quedó varado en El Cairo.

En 1799, ayudó a descubrir la Piedra de Rosetta en el medio del desierto egipcio.

Fue allá donde Fourier se enamoró... del calor. No solo las matemáticas que escondía sino de los fantásticos poderes medicinales que estaba convencido que tenía.

Cuando regresó, sus amigos lo encontraron sentado en su habitación sobrecalentada en Grenoble, en el sur de Francia, envuelto como una momia egipcia, sudando, y pensando cómo explicar exactamente cómo se mueve el calor a través del espacio.

La piedra de Rosetta es un fragmento de una antigua estela egipcia de granodiorita inscrita con un decreto publicado en Menfis en el año 196 a. C. en 3 idiomas —jeroglíficos egipcios, griego antiguo y escritura demótica— fue clave para el entendimiento moderno de los jeroglíficos egipcios.

¿Cómo se mueve el calor de un sitio al otro? Incluso antes de responder a la pregunta que él mismo se había planteado, Fourier anticipó cuán importante sería la respuesta, no solo para comprender el calor, sino para toda la física:

"El calor, como la gravedad, penetra en todas las sustancias del Universo, sus rayos ocupan todas las partes del espacio. El objetivo de nuestro trabajo es establecer las leyes matemáticas a las que este elemento obedece. La teoría del calor formará a partir de ahora una de las ramas más importantes de la física general".

Su predicción fue acertada.

La comprensión matemática de Fourier de cómo se mueve el calor nos ha permitido comprender cualquier cosa que pueda describirse como una onda, como el sonido y la luz.

La gran idea de Fourier fue que cada onda, por compleja que fuera, podía explicarse como la suma de muchas ondas sinusoidales.

Las ondas sinusoidales son las ondas más simples que existen: si las dibujas en un papel, son una serie de curvas suaves, regulares, que suben y bajan.

Y la onda de sonido más simple que existe es el sonido puro de un diapasón.

El sonido puro del diapasón se usa como referencia para afinar instrumentos musicales.

El sonido de una trompeta, por ejemplo, es más complicado.

La forma de sus ondas se parece al borde de sierra o una cadena montañosa con innumerables picos de diferentes inclinaciones y alturas.

Fourier creía que si podía entender a fondo todas estas diferentes formas de onda, si de alguna manera pudiera relacionarlas, una con otra, descubriría algo importante. Estaba buscando los principios subyacentes que determinan sus muchas formas diversas.

Y su revelación fue esta: cada forma de onda, sin importar cuán complicada y abigarrada, se puede dividir en un conjunto básico de ondas sinusoidales simples y lisas.

O, dicho de otra manera, si uno "suma" muchas ondas sinusoidales simples de diferentes frecuencias (es decir, curvas con los baches más o menos montados juntos) puede reproducir el perfil irregular de la onda de la trompeta.

Su revelación fue que todas las ondas, incluso una complicada como la de la trompeta (en rojo) se puede expresar con una serie de ondas sinusoidales simples (azul).

De eso se trataba la pionera Teoría del Calor de Fourier: explicaba cómo se relacionan todas las ondas entre sí.

"Las matemáticas comparan los fenómenos más diversos y descubren las analogías secretas que los unen", dijo.

Su análisis es una brillante pieza de matemática pura.

¿Qué sucedió con la idea?
Cuando publicó por primera vez su Teoría Analítica del Calor, se encontró con una fuerte oposición.

Muchos colegas académicos se mostraron escépticos. Les parecía imposible que las ondas sinusoidales lisas pudieran llegar a producir ondas complicadas, filodentadas como, por ejemplo, las de una trompeta.

Pero Fourier continuó trabajando en su tratado hasta que publicó la versión final en 1822.

Pasó tiempo antes de que los logros de Fourier fueran reconocidos, pero cuando lo fueron, no hubo quien frenara las alabanzas.

Uno de los más respetados físicos, Lord Kelvin, cuyo nombre se usó para nombrar la unidad científica moderna de la temperatura, declaró:

"El de Fourier no solo es uno de los más bellos resultados del análisis moderno, sino que además proporciona un instrumento indispensable en el tratamiento de casi todas las preguntas recónditas en la física moderna. Fourier es un poema matemático".

El calor dio fruto en "sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor", según Wikipedia.

Como predijo Fourier, su teoría formó una de las ramas más importantes de la física general.

No solo abarca cualquier fenómeno que pueda describirse como una onda sino que nos da una forma de pensar acerca de estos fenómenos del mundo muy real.

Es la razón por la que funciona tu radio o tu reproductor de música, entre otras cosas.

Los algoritmos sencillamente le dicen al altavoz que vibre para crear todas las ondas simples sinusoidales que componen un sonido particular. Al sonar simultáneamente, estas ondas simples pueden recrear milagrosamente toda una orquesta.

Su investigación sobre ese calor que lo cautivó en el desierto egipcio condujo a una de las ideas matemáticas más potentes de todos los tiempos —la gramática de las formas de onda— confirmando una de sus creencias:

"El estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos".

https://www.bbc.com/mundo/noticias-44689434

_- El enigma resuelto hace 300 años por el matemático Leonhard Euler que hoy nos permite acceder a internet

_- Marcus du Sautoy, matemático

FUENTE DE LA IMAGEN,SCIENCE PHOTO LIBRARY

Pie de foto,

El matemático y físico suizo Leonhard Euler (1707-1783) hizo descubrimientos en una amplia gama de campos, incluyendo geometría, cálculo infinitesimal, trigonometría, álgebra, teoría de números, física de continuum, teoría lunar y teoría de grafos, para nombrar unos pocos.

El desafío matemático anual presentado por la Academia de Ciencias en París en 1727 fue este: "¿Cuál es la mejor manera de organizar mástiles en un barco?"

A primera vista es un problema muy práctico, pero el joven matemático suizo Leonhard Euler lo abordó como un rompecabezas puramente matemático.

A pesar de nunca haber puesto un pie a bordo de un barco, se sintió perfectamente calificado para calcular la disposición óptima de los mástiles.

"No me pareció necesario confirmar esta teoría mía con experimentos porque se deriva de los principios más seguros de las matemáticas, por lo que no cabe duda alguna de si es o no cierta y funciona en la práctica", declaró.

 
Leonhard Euler tenía una fe absoluta en las matemáticas. Su legado que llega hasta hoy

Este es otro de los "recreos" de Euler: el problema de 36 oficiales. Euler preguntó si seis regimientos, con hombres de seis rangos diferentes, podían organizarse en un cuadrado de 6x6 para que cada fila y columna no repitan un rango o regimiento. Conocido como un cuadrado greco-latino, esta es una forma de combinatoria. Euler dijo que no había solución para este problema, pero esto no se demostró hasta 1901. En 1960, se demostró que todos los cuadrados greco-latinos, excepto los casos 2x2 y 6x6, se pueden resolver.

Euler es uno de los matemáticos más prolíficos de todos los tiempos. ¡Hay tantas ideas matemáticas que llevan su nombre! 50 años después de su muerte, su trabajo aún se estaba publicando. Reformó casi todas las áreas de las matemáticas.

Y, como si fuera un hobby, resolvió el problema de los siete puentes de Königsberg, un popular enigma del siglo XVIII.

"Para Euler resolver el problema fue una forma de entretenimiento, era algo intrincado y ameno que hacer", le dijo a la BBC el experto en tecnología Bill Thompson.

"Por supuesto él no tenía idea de cuánto aprovecharíamos su trabajo, cómo construiríamos sobre sus ideas ni de que usaríamos lo que nos dejó para crear y ejecutar una red que ha cambiado el mundo por completo".  Se refiere a internet.

Para Euler fue solo un juego, pero las matemáticas que creó para resolverlo se usan para hacer que los motores de búsqueda sean mucho más eficientes.

Como respirar
Desde una edad temprana, Leonhard Euler "calculaba sin ningún esfuerzo aparente, así como los hombres respiran, como las águilas se sostienen en el aire", según el matemático francés François Arago.

Las matemáticas le inspiraban tal pasión que cuando al final de su vida se quedó casi ciego sencillamente dijo: "Supongo que ahora tendré menos distracciones".

Probaba teoremas por diversión, así como tú o yo podríamos hacer Sudoku. Pero su padre, que era clérigo, quería que siguiera sus pasos.

"Tuve que registrarme en la facultad de Teología, y debía aplicarme a los idiomas griego y hebreo, pero no progresé mucho, pues dedicaba la mayor parte de mi tiempo a estudios matemáticos, y para mi feliz fortuna, las visitas del sábado a Johann Bernoulli continuaron".

Johann Bernoulli fue un destacado matemático con sede en la ciudad natal de Euler, Basilea, donde en el siglo XVIII había una suerte de mafia matemática.

La familia Bernoulli produjo ocho matemáticos sobresalientes en solo cuatro generaciones.
Johann fue tutor de Euler y persuadió a su padre para que le permitiera estudiar matemáticas en vez de religión.

Y fue el hijo de Johann, Daniel, gran amigo de Euler, quien le encontró su primer empleo, en la Academia de San Petersburgo donde él trabajaba.

Era en la sección médica, lo cual no era ideal, pero antes de irse a Rusia, Euler leyó todo lo que pudo sobre medicina. Tal era su forma de pensar, que logró convertir la fisiología de la oreja en un problema matemático.

El día en que Euler llegó, Catalina I de Rusia, la gran patrona liberal de la Academia de San Petersburgo, murió.

En medio de la confusión, Euler se mudó discretamente de la sección médica al departamento de matemáticas y a nadie pareció importarle.

En la ciudad de Königsberg tenían un pasatiempo dominguero que le llamó la atención a Euler.
Mientras estaba trabajando en San Petersburgo, Euler se enteró del conocido problema de los 7 puentes de Königsberg.
La ciudad prusiana de Königsberg estaba dividida en cuatro regiones distintas por las diversas ramas del río Pregel.
Siete puentes conectaban esas cuatro áreas diferentes y, en la época de Euler, se había convertido en un pasatiempo de tardes domingueras entre los residentes de la ciudad tratar de encontrar una manera de cruzar todos los puentes una sola vez y volver al punto de partida.

¿Puedes cruzar todos los puentes una sola vez y volver al punto de partida?

Euler le escribió una carta al Astrónomo de la Corte en Viena en 1736, describiendo lo que pensaba del problema:
"Esta pregunta es tan banal, pero me pareció digna de atención porque ni la geometría, ni el álgebra, ni siquiera el arte de contar era suficiente para resolverlo.
En vista de esto, se me ocurrió preguntarme si pertenecía a la geometría de posición, que (el polímata alemán Gottfried Wilhelm von) Leibniz alguna vez tanto anheló.
Y así, después de un poco de deliberación, obtuve una regla simple, pero completamente establecida, con cuya ayuda uno puede decidir de inmediato, para todos los ejemplos de este tipo, si tal ida y vuelta es posible".
En lugar de caminar interminablemente por la ciudad probando diferentes rutas, Euler creó una nueva "geometría de posición", en la cual las medidas anticuadas como longitudes y ángulos —todas las medidas de hecho— eran irrelevantes.
Lo que importa es cómo están conectadas las cosas.
Euler decidió pensar en las diferentes regiones de tierra en Königsberg que estaban separadas por el río como puntos y los puentes que los unen, como líneas que los conectan.
Puntos en vez de puentes, líneas en vez de caminatas... y encontró la solución no sólo a ese sino a un sinnúmero de problemas.
Lo que descubrió es esto: para que un viaje de ida y vuelta (sin volver sobre tus pasos) sea posible, cada punto —excepto los puntos de inicio y final— debe tener un número par de líneas entrando y saliendo.

La ventaja de la regla de Euler es que funciona en cualquier situación.
Cuando analizó su mapa de los siete puentes de Königsberg de esta manera, descubrió que cada punto o pedazo de tierra tenía un número impar de líneas o puentes que emergían de ellas.
Así, sin tener que caminar una y otra vez por la ciudad, descubrió matemáticamente que no era posible caminar por la ciudad cruzando cada uno de los puentes una sola vez.

Del siglo XVIII al XXI

La regla de Euler es fácil de aplicar.
Lo difícil era enmarcar el problema del puente Königsberg de esa manera en primer lugar, así como probar que "la cantidad de líneas que entran y salen de cualquier punto" realmente es todo lo que necesitas saber para saber si ese viaje es posible o no.
Y no se necesita ser un matemático para que una idea como esta te sea útil.
Gracias a reglas basadas en la obra de Euler, motores de búsqueda son mucho más eficientes.
La solución matemática de Euler al enigma de Königsberg ahora impulsa una de las redes más importantes del siglo XXI: internet, una red que conecta millones de computadoras en todo el mundo y mueve datos digitales entre ellos a una velocidad increíble.
"Si tengo mi computadora en casa y quiero entrar en un sitio web, necesito hacer una conexión entre mi computadora y el sitio web que puede estar en cualquier lado", dice Bill Thomson.
"Y puedo hacer esa conexión porque en mi computadora están incrustadas reglas basadas en el trabajo que Euler hizo en el siglo XVIII cuando trató de resolver el enigma de los puentes de Königsberg", explica el experto en tecnología.
El de los puentes de Königsberg estaba lejos de ser un problema acuciante en ese momento —más bien una curiosidad—, pero la solución de Euler perduró y revolucionó la era de la información del siglo XXI.
Lo que para Euler fue apenas un recreo, lanzó una de las ramas más importantes de las matemáticas.
Es como un cuento de hadas matemático, una historia con la que casi todos los matemáticos se criaron.

https://www.bbc.com/mundo/noticias-44085063

_- UNIVERSIDAD. Matemáticas, la carrera con la nota más alta y empleo garantizado.

_- La titulación de Relaciones Internaciones se cuela en el grupo de grados más cotizados debido, en gran medida, a la reducida oferta de plazas.

Mar Johnsson (Barcelona, 19 años) hizo la Selectividad en junio de 2021, y está en segundo de Matemáticas en la Universidad de Barcelona (UB). Estudia ahí porque no entró en la Universidad Politécnica de Cataluña (UPC). “La nota de la UPC era un 13,2 y yo saqué un 12,9. Tenía que hacerlo perfecto, y no estuve a la altura”, lamenta. De las 10 carreras con la nota de corte más alta de España, 7 tienen matemáticas en su nombre, y el doble grado de Física y Matemáticas es, año tras año, la carrera de más difícil acceso en todo el país, con un 13,825 sobre 14 en la Universidad Complutense de Madrid, y más de un 13,7 en las de Sevilla, Murcia, Zaragoza y Granada. ¿Por qué ese éxito de las matemáticas en las aulas cuando hace una década quedaban plazas sin cubrir?

“Las matemáticas están viviendo una época de esplendor, pues ahora, con el auge de las nuevas tecnologías, hay una plena conciencia de su utilidad. La sociedad se ha dado cuenta de que son muy necesarias porque, al final, detrás de todo hay matemáticas”, reflexiona sobre el fenómeno Eva A. Gallardo, presidenta de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). Johnsson está satisfecha de estudiar lo que estudia. “Las matemáticas lo explican todo, son la base de absolutamente todo. Aunque luego no quiero dedicarme a ellas, y haré un máster en Administración y Dirección de Empresas porque quiero trabajar en el mundo de las finanzas, de la Bolsa, sé que gracias a ellas tendré trabajo al salir”, afirma.

Sobre las salidas profesionales que ofrecen estas ciencias, Gallardo expone que son “infinitas”. “La tasa de empleo siempre ha sido altísima. Los matemáticos son personas con perfiles muy muy versátiles, con mentes analíticas, acostumbradas a los desafíos, a los retos, y no se asustan ante un problema. No siempre saben resolverlos, pero sí encontrar la raíz, el quid de la cuestión. Y eso interesa muchísimo a las empresas”, considera. Científico de datos, auditor financiero o programador son algunos de los empleos en los que pueden trabajar los graduados en Matemáticas. Según una encuesta del INE del año 2019, la tasa de paro de los estudiantes de este grado es tan solo del 3,7%, siendo esta carrera una de las que más empleabilidad tienen.

Aumenta la brecha de género
Por estas razones, explica Gallardo, las matemáticas llevan años desbancando a las ingenierías y a las medicinas. “Sin embargo, el aumento de demanda no se ha visto acompañado por el aumento de plazas, y por eso las notas de corte son tan altas”. Y esto, dice, tiene sus inconvenientes. “Muchos jóvenes a los que les gustan las matemáticas quizás no son tan buenos en lenguas, historia o filosofía, y no llegan a la nota de corte necesaria. Para eso, tienes que ser excelente en todo, y eso no es nada fácil”. Por esta razón, sigue, los estudiantes de matemáticas de ahora son “chavales con perfiles muy ejecutivos, que además de estudiar van al conservatorio y a la academia de idiomas, con unas inquietudes intelectuales altísimas”.

Gallardo lamenta la brecha de género en este grado, que se ha agrandado cuanto los estudios se han convertido en sinónimo de éxito profesional. Es un fenómeno reciente: entre 2000 y 2005 se redujeron en un 43% las matrículas en Matemáticas, que han resurgido con los hombres a la cabeza. En este sentido, la presidenta de la RSME lanza un mensaje: “En las matemáticas cabemos todos, y la diversidad es buenísima. La forma en la que yo me enfrento a las matemáticas es distinta a la manera en la que mi marido se enfrenta a ellas, y eso es enriquecedor. Conforme ha ido subiendo la demanda, ha ido decreciendo la tasa de mujeres que quiere estudiarlas, aparentemente por la competitividad. No es una cuestión de capacidad, obviamente, sino de parámetros sociales, de educación. Yo quiero decirles a las chicas que si quieren hacerlo, porque les gusta, vayan a por ello”.

A Física y Matemáticas le siguen otras dobles titulaciones: Traducción e Interpretación (Francés) y Relaciones Internacionales en la Pablo de Olavide (UPO), en Sevilla, que exige un 13,76 para acceder. La tercera del podio es Relaciones Internacionales y Derecho en la misma universidad, con un 13,73. La cuarta con más difícil acceso es Biotecnología y Farmacia en la Universidad de Salamanca, con un 13,661. Y la quinta, Ingeniería Informática y Matemáticas en la Complutense, con un 13,65.

Alta demanda de lo internacional
“En Relaciones Internacionales, hay poca oferta de plazas y mucha demanda, y por eso se disparan las notas de corte. Baja oferta y alta demanda, igual a inflación”, resume José Antonio Sánchez Medina, vicerrector de estrategia y planificación académica de la UPO. “Las Relaciones Internacionales se han puesto de moda, porque nuestros chicos cada vez viven en un mundo más global, y quieren comprenderlo. Quieren entender otros países, otras culturas”, explica, sobre el atractivo de esta disciplina. Entre las 20 carreras con el acceso más complicado de España, 7 tienen el adjetivo “internacional” en su título.

“Como carrera, no está tan establecida como Derecho o Administración y Dirección de Empresas. No todas las universidades la dan, y las que lo hacen ofrecen pocas plazas”, señala Sánchez Medina. En la UPO, tienen 60 plazas para el grado de Relaciones Internacionales, 20 para el doble con Derecho, y 10 para los dobles con Traducción e Interpretación (Francés) y Geografía. “Yo lo llevo con enorme disgusto. La nota de corte no es sinónimo de calidad, sino la combinación de poca oferta y jóvenes de 10 que han estudiado muchísimo”, recalca.

Álvaro Cabello (Herrera, Sevilla, 22 años), que hizo la Selectividad en junio de 2018 en la capital andaluza, está en quinto curso del doble grado en Estudios Internacionales y Derecho de la Universidad Carlos III de Madrid. “Era mi primera opción, pero no me esperaba entrar. O sea, como la nota de corte era muy alta [un 13,49], era una posibilidad que no entrara. Pero yo iba a por todas y era mi plan número uno”, empieza. “La escogí porque siempre me había interesado mucho la historia, la cultura de otros países y los idiomas, y porque la carrera era en inglés, pero también barajé hacer Derecho y Ciencias Políticas en la Universidad de Granada, que tenía una nota de corte más baja”, explica.

Sobre su rutina durante el bachillerato, Cabello cuenta que estudiaba de cuatro a ocho todas las tardes de entre semana y todos los sábados. También iba al conservatorio, estudiaba inglés y salía con sus amigos. “Un bachillerato muy normal”, dice. “Tuve profesores y compañeros muy buenos y cuando llegó la Selectividad, sentía que ya me lo sabía todo. Daba un repaso, pero las dos semanas de antes no estudiaba más de ocho horas al día”. Sacó un 13,65. En su opinión, la nota de corte es tan alta por la baja oferta de plazas, y porque es una doble titulación muy demandante que atrae a personas muy estudiosas que se exigen mucho a sí mismas. “Cuando entré, todos éramos matrícula de honor en el instituto, teníamos las mejores notas de la Selectividad de nuestra comunidad autónoma…”, señala.

Sobre las salidas profesionales de la carrera, comenta: “Realmente, una mitad quiere opositar, y la otra mitad quiere meterse en el mundo de la abogacía, en consultorías o grandes bufetes. Es verdad que los despachos nos llaman mucho, están muy interesados en nuestro perfil. Luego, hay una minoría que va a hacer másteres de derechos humanos, de derecho internacional”. Aunque entró queriendo opositar a diplomático (“lo que todos queríamos ser cuando entramos”), Cabello va a concursar al Cuerpo Superior de Administradores Civiles del Estado. “En un mundo como el nuestro, cada vez más complejo, más intercultural, donde las miradas monolíticas son más inútiles, los estudios polivalentes te abren la mente, y eso es buenísimo”, confirma Sánchez Medina, el vicerrector de la UPO.

https://elpais.com/educacion/2023-05-19/matematicas-la-carrera-con-la-nota-mas-alta-y-empleo-garantizado.html

MATEMÁTICAS. Stanislaw Ulam, el matemático que ‘arregló' la bomba H.

El investigador polaco ideó el método de Montecarlo, que permitió mejorar el diseño que se estaba persiguiendo hasta entonces.

En 1942, Estados Unidos, en colaboración con Canadá y Reino Unido, creó el Proyecto Manhattan, con el objetivo de fabricar la bomba atómica antes que las potencias del Eje. En el diseño teórico de la bomba, que se llevó a cabo en el laboratorio secreto de Los Álamos (Nuevo México), participaron muchos científicos europeos que habían emigrado a Estados Unidos huyendo de los nazis. Entre ellos estaba Stanislaw Ulam (nacido un 13 de abril de 1909 y fallecido en 1984), un brillante matemático polaco que contribuiría decisivamente al diseño de la bomba de hidrógeno.

Ulam creció en una familia acomodada en la ciudad de Leópolis (actualmente, en Ucrania), donde se integró en una vibrante comunidad matemática. Sin embargo, la oferta de plazas en las universidades polacas era escasa, lo que, unido a su condición de judío, le llevó a emigrar a América en 1935. Cuatro años más tarde, Alemania invadía Polonia. Toda su familia moriría en el Holocausto, salvo su hermano, que le había acompañado a Estados Unidos.

Ulam intentó alistarse en la aviación americana, pero afortunadamente fue rechazado por sus problemas de visión y continuó trabajando en la universidad hasta 1943, cuando recibió la invitación del físico alemán Hans Bethe para ir a Los Álamos a trabajar en el diseño de la bomba atómica.

La energía atómica se puede obtener de dos maneras: con el proceso de fisión, que consiste en dividir átomos grandes, como el uranio o el plutonio, o con el proceso de fusión, es decir, uniendo átomos pequeños, como el hidrógeno. En ambos casos el proceso comienza con un “encendido” que provoca la división (o unión) de unos pocos átomos, seguido de una “reacción en cadena”, en la que el proceso se extiende al resto de los átomos.

El proceso de fusión es más complicado y libera mucha más energía que el de fisión. Pero el encendido del proceso de fisión se puede llevar a cabo con un explosivo tradicional, mientras que el del proceso de fusión requiere una enorme cantidad de energía, que solo se puede conseguir usando una bomba de fisión. Por tanto, para construir una bomba de fusión es necesario haber obtenido antes la bomba de fisión. Cuando estos procesos se llevan a cabo de golpe, se libera una enorme cantidad de energía y se obtiene una bomba. Se suele llamar “bomba de hidrógeno” a la bomba que emplea el proceso de fusión, reservando el término “bomba atómica” para la bomba que utiliza el proceso de fisión.

En Los Álamos, Ulam se integró en el equipo de Edward Teller, que investigaba el diseño de la bomba de hidrógeno. En julio de 1945 el Proyecto Manhattan probó con éxito la primera bomba atómica y en agosto Hiroshima y Nagasaki fueron arrasadas por las primeras armas nucleares de la historia. La guerra había terminado y la mayoría de los científicos de los Álamos volvieron a sus universidades.

Sin embargo, cuatro años después, Rusia obtuvo su primera bomba atómica y el presidente estadounidense Harry Truman dio entonces prioridad a la construcción de la bomba de hidrógeno. Teller volvió a juntar a su equipo y retomó el proyecto, que dirigía de una manera muy personalista. El trato entre Ulam y Teller fue tenso desde el principio, a lo que no ayudó que el polaco, junto con su colaborador Cornelius Everett, dedicara los seis primeros meses de su estancia a realizar unos cálculos pormenorizados sobre la viabilidad del proyecto de Teller.

Casinos y simulaciones
Para ello, usó un método, ideado por él mismo, que denominó como método de Montecarlo en honor a un tío suyo, que frecuentaba el casino. Consiste en resolver un problema a partir de un gran número de simulaciones. Por ejemplo, para hallar el área de una figura geométrica complicada (para la que no podamos aplicar las fórmulas que aprendimos en la escuela) la solución tradicional es aproximar el área con figuras sencillas, más y más grandes, contenidas en la figura geométrica. El método de Montecarlo, por otro lado, propone tomar primero un cuadrado que contenga a la figura y, después, calcular la probabilidad de que un punto aleatorio del cuadrado esté en la figura ejecutando un gran número de simulaciones. Si, por ejemplo, el cuadrado mide seis metros cuadrados y estimamos que el 33% de los puntos del cuadrado están en la figura, entonces podremos deducir que el área de la figura será aproximadamente dos metros cuadrados.

El método de Montecarlo suele ser mucho más rápido resolviendo problemas que el método tradicional. Aunque no fue el primero en concebir ese método —ya se empleó en el experimento de la aguja de Buffon del siglo XVIII— Ulam fue el primero en comprender el enorme potencial que tendría, gracias a los primeros ordenadores que estaba desarrollando su amigo, el matemático húngaro John Von Neumann. Hoy en día el método sigue usándose: es básico en ciencia e ingeniería y se usa en ámbitos tan dispares como la animación 3D o la biología evolutiva.

Estos resultados, junto con otros que obtuvo con el físico italiano Enrico Fermi, fueron fulminantes: el método de Teller no permitía ni que la reacción en cadena comenzara ni que se mantuviera. Poco después, los cálculos serían repetidos y confirmados con el ordenador MANIAC de Von Neumann. No obstante, en 1951 el mismo Ulam descubrió que, si el hidrógeno era comprimido suficientemente utilizando una bomba atómica, entonces la reacción en cadena funcionaría. Tras incorporar este cambio al diseño de Teller, que recibe el nombre de proceso de Teller-Ulam, el proyecto de la bomba de hidrógeno continuó hasta conseguir la primera explosión en el atolón de Enewetak en 1952. La potencia de esta bomba fue 400 veces mayor que las bombas atómicas que cayeron en Japón en 1945. Los rusos no conseguirían la primera explosión funcional de una bomba de hidrógeno hasta 1955, con el diseño de Sakharov.

La vida de Ulam está recogida en la interesante autobiografía Aventuras de un matemático, que fue llevada al cine en 2020. Ahí expuso su posición respecto a la investigación de armas atómicas: “Al contrario que aquellos que se oponían violentamente a la bomba […], yo nunca tuve dudas sobre los trabajos puramente teóricos. No me parecía inmoral intentar calcular los fenómenos físicos […]. Lo que pensaba es que uno no debe empezar proyectos que conduzcan a la catástrofe. Pero una vez que sabemos que tales posibilidades existen, ¿acaso no es mejor examinar si son reales o no? Un engaño aún mayor es creerse que si tú no lo haces, no se podrá hacer […]”.

Federico Cantero Morán es profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del ICMAT.

https://elpais.com/ciencia/cafe-y-teoremas/2023-04-13/stanislaw-ulam-el-matematico-que-arreglo-la-bomba-h.html

Navegar por las Matemáticas.

La docencia, la narrativa y el juego son tres caminos diferentes que pueden entrelazarse para aprender una materia que nació de la mano de la Filosofía

Las Matemáticas nacieron de la mano de la Filosofía, unidas en el intento de explicar las cosas, con la lógica, con la reflexión, con el análisis.

Sin embargo, a lo largo del tiempo, con el volumen de conocimiento generado se han se han ido separando utilizando la especialización como coartada. No solo se han convertido en disciplinas autónomas, sino que aparecen aisladas de otras compañeras en el arte de pensar.

Nosotros solo pretendemos recuperar ese principio y unirnos a otros divulgadores que, sin renunciar al progreso imprescindible de la materia, vuelven la mirada hacia el origen de las Matemáticas. Y nos gusta hacerlo subrayando dos componentes fundamentales de esta materia: la interdisciplinariedad y la abstracción. La primera porque refuerza las relaciones (la vida son relaciones), la segunda porque refuerza su universalidad (no ser de nadie es ser de todos).

Para ello hemos utilizamos tres caminos diferentes: la docencia, la narrativa y el juego. Son tres miradas diversas, con muchos afluentes y límites difusos, pero están mezcladas, claro, ninguna puede prescindir de las otras. Y apuntan a un mismo objetivo, ampliar la perspectiva del conocimiento.

La Docencia
Cuando decimos que en la puerta de cualquier escuela, sea la escuela que sea, debería figurar este rótulo “Agítese antes de usar”, estamos poniendo en primer plano la enseñanza de las relaciones, de las conexiones entre las asignaturas, del mestizaje, del valor de las explicaciones que están en otra rama.

Es importante que cada disciplina tenga su espacio, que el aprendiente se empape de su esencia. Y sin duda este mensaje ha calado con exclusividad en nuestro sistema de enseñanza. Sin embargo, han desparecido la permeabilidad y el flujo de conocimientos entre asignaturas. “El médico que solo sabe medicina, ni siquiera medicina sabe”, dijo José Letamendi, y esa idea es extrapolable a muchas disciplinas, reforzando así los vínculos imprescindibles para el conocimiento que, con frecuencia, la especialización no toma en consideración. Cuando además nos encontramos ante una materia básica como las Matemáticas esta idea todavía cobra más fuerza.

Así iniciamos el proyecto El Urbanismo de las Matemáticas como fusión entre nuestras “especialidades” (Urbanismo y Matemáticas) enseñadas tradicionalmente como parcelas aisladas. Este proyecto docente es una iniciativa paraguas que desarrolla esa idea de mezcla y de conexiones. De este modo, aparecen propuestas como El SudokUrbano, Las teselaciones y el pavimento urbano, Las Matemáticas y el Espacio Público, Fallas y Matemáticas, La ciudad de los grafos o el Mau Mau (Matemáticas, Arquitectura y Urbanismo), todos ellos instrumentos docentes metidos con calzador en los programas oficiales.

Con esa pancarta hemos acudido a congresos, jornadas de divulgación, seminarios y hemos realizado publicaciones subrayando que cada materia no es una especialidad, sino una globalidad.

Aunque sin ir más lejos, el propio lenguaje es un instrumento muy útil (y muy transversal) cuando descubrimos que las palabras funcionan como puentes de enlace entre la vida especializada y la universalizada. Fonemas como densidad, escala, centro de gravedad, explican conceptos que van más allá de cualquier asignatura y las unen. La elevada densidad de una ciudad, la de un fluido y la de una conversación comparten un significado global: mucho dentro de poco.

Sin perder el rigor y la esencia de cada disciplina, se pueden construir puentes con otras. Por eso creemos que el desarrollo de una materia, sea la que sea, siempre ha de tener las puertas abiertas y las persianas subidas para que puedan entrar los aprendizajes de otras. Que las aulas no sean jaulas sino trampolines. Pero siempre, insistimos, sin perder rigor, sino ganando comprensión.

La Narrativa
Cuando decimos “voy a contar una historia”, siempre aparece la expectativa y aquello que llamamos “prestar atención”. Hermosa y mágica frase. Y es que las historias suelen ser sucesos para intercalar cuentas y cuentos en las clases de Matemáticas, esos que ilustran la transversalidad de la que hablamos.

Por eso decimos que nos gustan las Matemáticas basadas en hechos reales, en cosas que suceden, que nos cuentan, que contamos, y llevan implícitas aventuras geométricas, o de números, o de operaciones sin quirófanos. Historias con incógnitas, con conclusiones, con soluciones, con funciones que funcionan y límites que limitan.

Como cuando le preguntan a aquella joven, dentro de un relato, qué se llevaría a una isla desierta, y ella responde sin dudarlo: una regla de tres. Porque está pensando en su polifuncionalidad cotidiana, en algo que está presente en nuestras vidas casi sin darnos cuenta. O aquel niño que descubre algo tan simple como la propiedad conmutativa y concluye que si 2 x 3 y 3 x 2 son lo mismo, solo necesita saber la mitad de las tablas de multiplicar. O cuando nos damos cuenta de que las familias de números, tan reales y tan imaginarios, son como nuestras propias familias.

“Es un tipo con la mente cuadriculada”, nos cuentan, y sabemos lo que significa aunque nos declaremos analfabetos en geometría.

Contar historias es un truco docente, sin duda, pero supone difundir, empapar las Matemáticas de vida y la vida de Matemáticas, para entender las unas y la otra. Ese es el objetivo de otro de nuestros proyectos, AJUST3 de CU3NTOS, nuestro libro publicado a finales de 2022.

El Juego
La verdad es que hablamos de docencia, de narrativa, de juego, y las tres cosas se unen sin poderlo remediar (ni tampoco queremos remediarlo). El juego es la conclusión porque hilvana el conocimiento con la diversión.

No nos gustan palabras como “pasatiempos” (los tiempos pasan sin necesidad de ayuda alguna) o “rompecabezas” (no hay nada que romper, mejor construir), sin embargo, con el juego nos gusta buscar esa pieza que cierra el conjunto, como si fuera una incógnita descubierta. Esa pieza que completa, que es la solución lógica, que invita al aplauso como si hubiéramos resuelto una ecuación. Es cuando el esfuerzo que implica el juego se transforma en diversión y aprendizaje. Magia en estado puro.

La geometría, los números, el cálculo, las sucesiones son todas ellas una materia prima fundamental para el conocimiento y para desarrollar habilidades recubiertas con una pátina de lo lúdico.

Por eso iniciamos otro proyecto, Juegos al cuadrado, en colaboración Mariló López, directora del aula taller-museo de las Matemáticas π-ensa, de la Universidad Politécnica de Madrid. Juegos al cuadrado son unas cajas de juegos reunidos matemáticos para superponer, para añadir, para buscar equivalencias, para construir figuras. Unas cajas que pueden viajar a los centros docentes y expandirse en las mesas despertando la curiosidad, el descubrimiento, la diversión. Pensando en el desafío sin competitividad, en la colaboración más que en la batalla.

Otra vez se mezcla todo. El juego tiene narrativa, tiene historias dentro, y aterriza en el aula para fomentar el aprendizaje.

Insistimos, todo ello sin perder rigor, sin dulcificar una materia que no necesita azúcar y que es mejor descubrir la que ya tiene. Solo se trata de echar aceite en la maquinaria para volver a unir las Matemáticas con sus viejas compañeras de origen. Érase una vez, diríamos, unas amigas de siempre que hace tiempo que no se ven. Y se descubren, y recuerdan sus momentos compartidos, y sonríen, y recomponen sus lazos.

Imaginamos que es entonces cuando las Matemáticas ahuyentan nuestros recelos, recuperan su protagonismo amigo y alcanzan ese valor cotidiano imprescindible que nos ayudan a comprender nuestra propia vida.

Rafael Rivera es arquitecto y urbanista, y Macarena Trujillo es ingeniera agrónoma, doctora en Matemáticas y profesora del departamento de Matemática Aplicada de la de la Universidad Politécnica de Valencia. Ambos publicaron a finales de 2022 el libro AJUST3 de CU3NTOS, matemáticas contadas desde otros ángulos (Npq Editores).

https://elpais.com/educacion/2023-01-21/navegar-por-la-matematicas.html

La "herejía de Kepler": las matemáticas que llevaron a cuestionar a Dios como arquitecto del universo

Así era el modelo del universo de Kepler.

La misión de Johannes Kepler, matemático, astrónomo, astrólogo al servicio del emperador Rodolfo II de Habsburgo, era desvelar las leyes que sirvieron al Creador para dar forma al universo.

Pero Kepler se enfrentó al juicio de una incongruencia, una pieza que no encaja con la lógica y que cuestionaba la omnipotencia de Dios. Esa incongruencia es la figura geométrica del heptágono.

Euclides renunció a ella por su extravagante naturaleza, y que Kepler aseveró: "No ha podido ser construida conscientemente por una mente".

"La Geometría es uno de los eternos reflejos de la mente de Dios", escribía Johannes Kepler en Mysterium Cosmigraphicum (1959).

"Yo me propongo demostrar que Dios, al crear el universo y al establecer el orden del cosmos, tuvo ante sus ojos los cinco sólidos regulares de la geometría conocidos desde los días de Pitágoras y Platón, y que Él ha fijado de acuerdo con sus dimensiones el número de los astros, sus proporciones y las relaciones de sus movimientos".

Pintura de dios FUENTE DE LA IMAGEN, GETTY IMAGES

¿Creó Dios el universo?

El esqueleto del universo según Kepler
Según Kepler, el Cosmos estaba ordenado dentro de una gran esfera y había sido construido con la expansión de los poliedros regulares.

Sólo existen cinco poliedros regulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Dentro de la órbita o esfera de Saturno, Kepler inscribió un cubo; y dentro de este la esfera de Júpiter circunscrita a un tetraedro.

Sobre el tetraedro situó la esfera de Marte.
Entre las esferas de Marte y la Tierra encajaba el dodecaedro.

Entre la Tierra y Venus el icosaedro; entre Venus y Mercurio el octaedro.

Y en el centro de todo el sistema, el astro rey, el Sol.

Kepler había construido el esqueleto de la Armonía de las esferas ensamblando poliedros.

El cosmos de Kepler

FUENTE DE LA IMAGEN, GETTY IMAGES Y SCIENCE PHOTO LIBRARY

El modelo de Kepler del Sistema Solar, partiendo como base de los sólidos platónicos.

El heptágono no encajaba
Para dar forma a la Armonía de las esferas, Kepler despliega en su obra Harmonices mundi el desarrollo geométrico de los polígonos, y entre ellos el heptágono, una singularidad que rompía la armonía.

En su obra, Kepler afirma que esta figura no ha podido ser construida conscientemente, y tampoco es posible darle forma con los métodos utilizados por Durero, Cardano, Clavio o Bürgi.

Kepler duda si verdaderamente lo pudieron hacer, o si lo lograron de manera fortuita.

Kepler basaba su argumentación científica en la imposibilidad geométrica de la construcción del heptágono con escuadra y compás.

La construcción de esta figura tampoco se explica en los Elementos de Euclides, ni en el Almagesto de Ptolomeo.

Puente de San Carlos
FUENTE DE LA IMAGEN, GETTY IMAGES Al caerle los copos de nieve sobre el puente de Carlos en Praga, Kepler tuvo su "momento eureka" particular.

Kepler llegó a afirmar que la máquina celeste no fue creada como un "animal divino, sino como un reloj regido por una fuerza que puede expresarse matemáticamente".

El Dios Geómetra, de gran popularidad en la Edad Media, estaba siendo cuestionado.

Las órbitas elípticas de los planetas
En el ilusionario del movimiento circular de los planetas había más cosas que no encajaban.

Kepler no podía explicar matemáticamente por qué a principios de noviembre el atardecer del día cae rápidamente y el amanecer se adelanta velozmente a medianos de febrero.

Convencido de que todo el cosmos y sus circunstancias podían explicarse con matemáticas, encontró cómo resolver el enigma.

Johannes Kepler FUENTE DE LA IMAGEN, SCIENCE PHOTO LIBRARY

Hijo de un mercenario y una madre acusada de ser bruja, Kepler miró al cielo y descubrió que el Sol estaba en el centro del Sistema Solar.

Tras estudiar durante cinco años las observaciones exhaustivas y meticulosas de los planetas hechas por Tycho Brahe, tratando de ajustar el viaje de Marte a varias curvas, en 1609 publicó las dos primeras de sus tres leyes del movimiento planetario.

La primera ley establece: "La órbita de todos los planetas es una elipse con el Sol en uno de sus focos".
Aquel hallazgo fue fundamental para la comprensión del universo.

Sin embargo, también suponía zozobra en los intereses de Kepler.
¡Cómo era posible que el creador eligiera una elipse, y no un círculo perfecto!
En la mente de Kepler nunca hubo intención de cuestionar al divino Arquitecto del cosmos.
Sin embargo, al otro lado del mundo, en Filipinas, un misionero dominico estudió al detalle la obra de Kepler y señaló la herejía: la opinión que Kepler había manifestado sobre el heptágono cuestionaba al Creador.

Kepler-90

FUENTE DE LA IMAGEN, NASA

Los planetas del Sistema Solar
La herejía de Kepler
Fray Ignacio Muñoz Pinciano (1608-1685) escribió el Manifiesto geométrico (1684), en el que describe un método de trazado del heptágono, frente al desarrollado en la proposición de la figura determinada por Kepler.
Esto significaba, para el fraile, que Kepler no solo estaba equivocado, sino que, además, su obra era una herejía.
El fraile cree conseguir construir la figura a través del triángulo isósceles (9,4,9) refutando a Kepler por considerarla como impossible simpliciter.
El dominico termina la obra apuntando que, pese a que Kepler ya está denunciado por la Inquisición, el Harmonices mundi no lo estaba, y, debido a sus tesis sobre esta figura, también habría de ser condenada.
Según el dominico, la obra de Kepler conduce a pensar que la Sabiduría eterna de Dios no es suficiente para construir la figura del heptágono, y por tanto carecería de cognoscibilidad científica.
Fray Ignacio razonaba basándose en el principio de las Escuelas Metafísicas, donde lo que no tiene entidad, ni esencia, ni condiciones, ni propiedades, no puede existir.
El Manifiesto Geométrico fue una apología contra la incognoscibilidad del heptágono por ser una figura infinita, y de aquí el principio herético de Kepler. En el Génesis, la Creación es finita, los seis famosos días y un séptimo de descanso, y en la creencia de lo indeterminado parte el arrebato inquisidor del dominico.

*Este artículo fue publicado en The Conversation y reproducido bajo la licencia Creative Commons. Haz clic aquí para leer la versiónoriginal. Josep Lluis i Ginovart es Catedrático Intervención Patrimonio Arquitectónico de la Universitat Internacional de Catalunya.

Cinta Lluis Teruel es ayudante de Investigación Júnior de la Universitat Internacional de Catalunya.

https://www.bbc.com/mundo/noticias-63660048