Hay un misterio en el corazón de nuestro Universo. Un rompecabezas que, hasta ahora, nadie ha podido resolver. De resolverlo, las consecuencias serían profundas.
El misterio es por qué las reglas y los patrones matemáticos parecen infiltrarse en casi todo el mundo que nos rodea. De hecho, hay quienes describen las matemáticas como el lenguaje subyacente del Universo.
¿Significa eso que es algo que simplemente hemos ido descubriendo? ¿O es algo que hemos ido inventando, como cualquier lenguaje?
Nos hemos hecho esa pregunta durante miles de años y aún no hemos podido ponernos de acuerdo.
¿Por qué importa?
Porque las matemáticas apuntalan casi todo en nuestro mundo moderno, desde computadoras y teléfonos móviles hasta nuestra comprensión de la biología humana y nuestro lugar en el Universo.
Es por eso que los grandes pensadores de la historia han tratado de explicar los orígenes del extraordinario poder de las matemáticas.
Los números
El mundo moderno no existiría sin las matemáticas. Se esconde detrás de casi todo lo que nos rodea e influye sutilmente casi todo lo que ahora hacemos.
Y, sin embargo, es invisible. Intangible.
Entonces, ¿de dónde vienen las matemáticas? ¿Dónde viven los números?
A menudo pensamos en los números como algo atado a objetos, como el número de dedos en una mano o el número de pétalos en una flor.
Flor con 5 pétalos. FUENTE DE LA IMAGEN,GETTY IMAGES Esta flor tiene 5 pétalos. Si le quitas 2, quedarán solo 3 (y se verá menos bonita).
Los pétalos ya no estarán, pero el número 2 seguirá existiendo.
Eso es algo que no puedes decir de todo: si los lápices nunca se hubieran inventado, la idea de un lápiz no existiría.
Puedes destruir el objeto físico, quemarlo hasta que sólo queden cenizas, pero no puedes destruir la idea de los números.
En todas las culturas del mundo, todos estamos de acuerdo sobre el concepto de 4, así lo llames cuatro, four, quatre, vier, o escribas el símbolo de otra manera.
Pie de foto, No importa cómo lo llames o cual símbolo uses para escribirlo, el concepto del 4 es universal.
El mundo platónico de los números
¿Habrá entonces algún mundo mágico paralelo en el que viven todas las matemáticas? ¿Un lugar en el que están las verdades fundamentales que nos ayudan a comprender las reglas de la ciencia?
O, ¿será todo producto de nuestra imaginación e intelecto?
"Es demasiado extraordinario pensar que las verdades matemáticas son producto enteramente de nuestras convenciones en la mente humana... Yo no creo que seamos tan inventivos", opina Eleanor Knox, doctora en Filosofía de la Física de King's College London, Reino Unido.
"A veces parece que las matemáticas se descubren, especialmente cuando el trabajo va muy bien y sientes como si las ecuaciones te estuvieran impulsando", señala Brian Greene, profesor de Física y Matemáticas de la Universidad de Columbia, EE.UU.
"Pero luego das un paso atrás y te das cuenta de que es el cerebro humano el que impone estas ideas y estos patrones en el mundo y, desde esa perspectiva, parece que las matemáticas son algo que viene de nosotros", agrega Greene.
"El número cinco se llama fem en sueco, mi lengua materna", dice Max Tegmark, profesor de Física y Matemáticas en MIT, EE.UU.
"Esa parte la inventamos, el bagaje, la descripción, el lenguaje de las matemáticas. Pero la estructura en sí misma, como el número 5 y el hecho de que es 2 + 3, esa es la parte que descubrimos", explica el experto sueco.
El problema es que tanto quienes creen que las matemáticas fueron descubiertas como quienes piensan que son inventadas tienen argumentos muy persuasivos.
Tanto que seguramente esta serie te hará cambiar de opinión una y otra vez.
Para darte una prueba, empecemos con unas de muestras más sencillas de quienes dicen: "Las matemáticas están a nuestro alrededor. Solo necesitas saber dónde mirar para descubrirlas".
El ingenio del nautilino Nautilo FUENTE DE LA IMAGEN,GETTY IMAGES
Se les considera fósiles vivientes... llevan siglos asombrándonos.
De todas las estructuras que encuentras en la naturaleza, una de las más bellas es la concha de los nautilinos.
La criatura que vive adentro crea todas estas formas, y salta de una cámara a otra a medida que crece.
Es asombroso cómo ese pequeño ser puede crear algo tan extraordinario e increíblemente complejo.
Además, tiene un patrón oculto, que puedes revelar tomando tres pares de medidas de las cámaras.
Elijes un ángulo y mides la cámara interior, y luego una segunda medición hasta el borde exterior.
Midiendo las cámaras de la concha de nautilo Pie de foto,
La primera media está en rojo y las segunda empieza en el mismo lugar, pero llega más lejos.
Tras hacer eso tres veces en tres ángulos diferentes tendrás tres pares de números que, a primera vista, parecen aleatorios.
En este caso:
14,5 / 46,7
23,9 / 77,6
307 / 995
Pero las apariencias pueden ser engañosas, porque si tomas cada uno de estos pares de números y divides uno por otro, comienza a emerger un patrón muy claro.
46,7 dividido 14,5 = 3,2
77,6 dividido 23,9 = 3,2
995 dividido 307 = 3,2
No importa dónde midas la concha, la proporción del ancho de las cámaras termina siendo constante.
Cada vez que el nautilino hace un giro completo, termina sentado en una cámara que tiene aproximadamente 3,2 veces el ancho del giro anterior.
Y al repetir esta simple regla matemática, puede crear esa concha en espiral bellamente intrincada.
Concha de nautilinos FUENTE DE LA IMAGEN,GETTY IMAGES
La hermosa concha del nautilinos con su espiral logarítmica es la imagen clásica usada para ilustrar el desarrollo del cálculo.
Los pétalos de las flores
El nautilino no es el único ser vivo que tiene un patrón matemático oculto en su interior.
Si alguna vez has contado los pétalos de una flor, es posible que hayas notado algo inusual.
Unas tienen 3 pétalos. Otras, 5. Algunas, 8. Hay de 13 pétalos. Pero rara vez tienen los números intermedios (4, 6, 7, 9, 10, 11 o 12).
Flores
FUENTE DE LA IMAGEN,GETTY IMAGES
En los pétalos de las flores puedes encontrar la sucesión de Fibonacci, que comienza con 0, 1, 1 y a partir de estos, cada número es la suma de los dos anteriores. La sucesión tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemática y teoría de juegos.
Estos números surgen una y otra vez. Parecen aleatorios, pero todos son parte de lo que se llama la secuencia o sucesión de Fibonacci, en nombre del matemático italiano del siglo XIII que la describió en Europa.
Comienzas con los números 1 y 1, y desde ese punto, sigues sumando los dos últimos números.
Así que...
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
... y así sucesivamente.
Al observar la cantidad de pétalos en una flor, descubres que siguen la sucesión de Fibonacci. Lo mismo sucede en muchas configuraciones biológicas, como las ramas de los árboles y las hojas en los tallos, entre otras.
Y eso no es todo.
Si te fijas en el centro de un girasol, verás que las semillas están dispuestas en forma de espiral. Cuenta el número de espirales en una dirección y, a menudo, encontrarás un número de Fibonacci.
Si luego cuentas las espirales que van en la dirección opuesta, encontrarás un número de Fibonacci adyacente.
¿Por qué las plantas hacen eso? Pues resulta que es la mejor manera en la que la flor puede organizar sus semillas para evitar que se dañen.
girasol
Las semillas empacadas en espiral.
Esas reglas matemáticas simples y gloriosas que se encuentran escondidas en la naturaleza no parecen una coincidencia.
Una vez que detectas este tipo de patrones matemáticos, sientes que los descubriste, no que te los inventaste.
Es como si las matemáticas estuvieran ahí esperando que las encuentres.
No obstante...
Durante siglos, se pensó que el lenguaje de las matemáticas era fijo e inalterable, hasta que se hizo evidente que faltaba algo:
0 FUENTE DE LA IMAGEN,GETTY IMAGES Pie de foto,
El cero.
¿Qué es exactamente cero?
Un cero significa nada. Si tienes cero de algo, tienes nada.
Por qué, científicamente, nada es imposible
El 0 es un concepto extraño; es como si la ausencia se convirtiera en algo.
¿Se trata de un número o una idea? ¿Y cómo puede algo sin valor tener tanto poder?
El 0 vs. los romanos
Restos de un barco antiguo con números romanos. FUENTE DE LA IMAGEN,GETTY IMAGES
Aunque siempre hemos entendido el concepto de no tener nada, el concepto de cero es relativamente nuevo.
Usábamos números, podíamos contar pero antes del siglo VII el cero no existía.
Occidente ya tenía un sistema numérico: los números romanos.
Funcionaban bien, aunque eran algo difíciles de manejar
No se sabe si el 0 se originó en China o India pero fue en la última donde se comenzó a aceptar como un número adecuado.
El manuscrito de Bakhshali: el descubrimiento que muestra que el cero tiene 500 años más de lo que se pensaba Bakhshali manuscript FUENTE DE LA IMAGEN,BODLEIAN LIBRARY
Esta es una página del manuscrito indio de Bakhshali de alrededor de 225 d.C., que muestra los puntos sobre los caracteres que representan 0. Este es el primer uso conocido del símbolo cero.
Durante casi 1.000 años, los matemáticos indios trabajaron felices con números indo-arábigos, mientras que sus homólogos occidentales continuaron con los números romanos, hasta que el matemático Fibonacci reconoció su potencial.
Al-Juarismi, el erudito persa que introdujo los números a Occidente y nos salvó de tener que multiplicar CXXIII por XI
Había sido educado en el norte de África, conocía la obra del erudito persa Al-Juarismi, por lo que había visto de primera mano cuán bien funcionaba ese sistema de números.
Es por eso que alertó a Europa occidental de la existencia del sistema indo-arábigo y defendió el 0.
Ese nuevo número era el que más cambios introducía.
En números romanos, por ejemplo, 1958 se escribe: MCMLVIII.
No importa dónde la coloques, la letra C siempre representa el número 100.
El 0 era diferente. Su posición podía cambiar los valores de los números a su alrededor. Piensa en la diferencia entre 11 y 101.
El 0 te permite escribir más números y manipularlos mucho más rápida y fácilmente.
Robot con código binario atrás FUENTE DE LA IMAGEN,GETTY IMAGES
Fue inventado y resultó tremendamente útil: toda la tecnología moderna está literalmente construida sobre 1s y 0s.
Ahora: el 0 no lo descubrimos, lo creamos como parte del lenguaje para describir números.
Eso hace que las matemáticas se sientan como algo que hemos ideado. Necesitábamos un sistema numérico más fácil de usar así que a alguien se le ocurrió la brillante idea del cero.
Es una evidencia intrigante de que las matemáticas podrían ser inventadas, un producto de nuestro intelecto e imaginación.
Y no es la única, por supuesto, así como hay muchas más que apoyan el argumento de que las matemáticas ya existen y las vamos descubriendo.
¿Qué piensas tú?
Atenea, la diosa de la guerra, la civilización, sabiduría, de las ciencias, de la justicia y de la habilidad... ¿sería ella la que abrió esa ventana al mundo de los dioses? (Palas Atenea, 1898, de Gustav Klimt 1862-1918)
Por qué los antiguos griegos pensaban que las matemáticas eran un regalo de los dioses
Las matemáticas apuntalan tanto de nuestro mundo moderno que es difícil imaginar la vida sin ellas, pero ¿de dónde vienen exactamente? ¿Nos las inventamos o es algo que descubrimos?
1ª parte: Las matemáticas... ¿nos las inventamos o las descubrimos?
Los antiguos griegos no tenían dudas al respecto.
Al filósofo Pitágoras y sus seguidores los cautivaba tanto los patrones matemáticos que creían que los números eran un regalo divino, y parte de su fascinación era resultado de sus experimentos con la música.
Con ellos, descubrieron patrones que vinculaban los sonidos y sus relaciones con las proporciones numéricas de las que dedujeron la hermosura y lo placentero de la música.
Para ellos, eso no podía ser coincidencia: era una ventana a los mundos de los dioses.
Matemática armoniosa
"Cualquier sonido que escuches es producido por algo que se está moviendo. Si haces que la cuerda se vibre, produce un sonido", le explica el matemático y músico Ben Sparks a la BBC.
Pitágoras (c 560-c 480 a.C.) demostrando la relación matemática en la música
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Pitágoras (c 560-c 480 a.C.) demostrando la relación matemática reconocida entre la longitud de la cuerda vibrante, la columna de aire o el tamaño del instrumento de percusión y las notas de escala musical. Tallado de Theo Gafurius 'Theoricum opus musicae disciplinae', 1480.
"Lo que notaron los griegos es que puedes hacer que la cuerda vibre dos veces más rápido, reduciendo su longitud a la mitad".
Entonces, si tocas la cuerda tensa, produces una nota. Si la vuelves a tocar pero pinzando la cuerda en el medio, inmovilizas parte de ella y sólo vibra la otra mitad, que producirá otra nota parecida pero definitivamente diferente.
"Eso es lo que llamamos una octava", señala Sparks.
"En la octava, la relación de frecuencias es de 2:1".
Título del video,
Nada mejor que escuchar: haz clic aquí
¿Habrá otras fracciones que suenen bien?, se preguntaron los griegos. Y efectivamente encontraron que otras divisiones de la cuerda en proporciones progresivas, producían sonidos considerados hermosos y bien proporcionados.
Sonidos como la quinta justa, en la que la proporción es de 3:2, es decir que la nota alta es dos tercios la longitud de la nota baja.
Pero, ¿qué sucede cuando tocas algo que no es una de esas fracciones ordenadas?
"Cuando las notas no están en estas proporciones simples, tendemos a notarlo aunque no estemos al tanto de las matemáticas", asegura Sparks.
Los griegos encontraron que al pulsar otros fragmentos de la cuerda -demasiado próximas o mucho más lejanas y en una proporción difícil a la nota fundamental- producían sonidos desagradables a sus oídos.
Violonchelo y relación
En la quinta justa, el artista toca la cuerda primero sin interferir con sus dedos y luego apretando la cuerda 1/3 más abajo, de manera que sólo vibre el resto.
¿Por qué razón otra existirían esos patrones si no para revelarnos el reino de los dioses?, pensaban los pitagóricos.
La música del Cosmos
"Para Pitágoras y sus seguidores, era importante descubrir el principio que ordenaba todo y lo encontraron en los números", le dice a BBC Mundo el comentarista musical Ricardo Rozental.
"Explicaron las proporciones en las que se podían producir sonidos agradables y con los que era posible hacer una música que gustara al oído y, en consecuencia, favoreciera al espíritu y la inteligencia".
La paciente observación del cielo arrojó conclusiones similares respecto del movimiento de los planetas y las estrellas, que no discurrían al azar sino en ciertos patrones que pudieron explicarse con proporciones numéricas.
Persona tocando piano con la luna grande detrás.
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La antigua teoría de la Musica Universalis o la armonía de las esferas, que sostiene que los planetas se mueven de acuerdo con las ecuaciones matemáticas y por lo tanto resuenan para producir una sinfonía inaudible, se la debemos a los pitagóricos.
"La conclusión apoyó la idea de que los movimientos de los cuerpos celestes y los sonidos placenteros se relacionaban de la misma manera, es decir, por las mismas proporciones matemáticas", agrega el experto.
"De allí la noción de cosmos como el todo ordenado según un mismo patrón explicable numéricamente".
Las bajas pasiones
Una bella melodía que empleara las notas correctas, para los antiguos griegos, era así porque en ella se habían empleado adecuadamente las proporciones numéricas que se encontraban en consonancia con los astros.
Las relaciones entre lo más grande y lo más pequeño actuaban en conjunto y hacían posible comprender el principio que lo juntaba todo de la forma ordenada y armoniosa en que operaba.
Entonces, ¿cómo se explicaban los sonidos desagradables?
Pitágoras, con su música y sus cuerpos celestes
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"Como también era posible producirlos, los pitagóricos entendieron que deberían evitarse puesto que eran capaces de producir consecuencias tremendas en quienes los escucharan, ya que alterarían el buen equilibrio del cuerpo y la mente y estarían por fuera de las leyes del ordenamiento cósmico", dice Rozental.
"Así que dedujeron que las bajas pasiones, la ira y la violencia podían excitarse por este medio, así como el sosiego y la tranquilidad podían inducirse mediante una música armoniosa y dulce".
Diabolus in musica
Mucho siglos después, cuando el cristianismo había adoptado numerosos principios originados en la cultura griega y en la medida en que la práctica de la liturgia incorporó una diversidad de música, ciertos aspectos desagradables para el hábito auditivo -como el empleo de notas a distancia de segunda- se consideraron malévolos y por tanto, se excluyeron de los cánones musicales de la iglesia.
"Su empleo habría sido la intervención de lo diabólico. Resultaba necesario excluirlas, para evitar la presencia del diablo en la iglesia y en la mente y el espíritu de sus seguidores", cuenta el experto.
Pitágoras
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La influencia de Pitágoras se sintió durante siglos en la música.
Todavía para el siglo XIX, algunas de estas ideas provenientes del siglo VI a.C. seguían en práctica.
"El violinista Nicoló Paganini es bien conocido por emplear lo que en latín se denominó como el diabolus in musica, unos acordes llamados también tritonos, que pertenecían a la práctica excluida por las reglas de lo bien ordenado", señala Rozental.
"No obstante, Paganini fue un favorito del público y contribuyó a debilitar ciertos temores asociados con lo que se consideraba bello y consonante, feo y disonante, cósmico y caótico, divino y demoníaco".
Nuestro oído y gusto musical admiten hoy una mayor diversidad numérica que la antiguamente propuesta por los griegos y apreciamos la amplitud del sonido como parte de un cosmos en expansión.
El origen de las matemáticas
Los gustos cambiaron, pero los patrones que encontraron los griegos, no.
Poesía y música: Las nueve musas inspiran a Arión, Orfeo y Pitágoras, con la ayuda de la fuente de toda armonía. Una miniatura de 'Liber Pontificalis', manuscrito del siglo XIII
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Poesía y música: Las nueve musas inspiran a Arión, Orfeo y Pitágoras, con la ayuda de la fuente de toda armonía. Una miniatura de 'Liber Pontificalis', manuscrito del siglo XIII
Los pitagóricos no fueron los primeros en usar algún tipo de matemáticas.
Hay algunas pruebas de que las marcas encontradas en huesos de la era del Paleolítico Superior hace 37.000 años fueron talladas y usadas para contar.
Sin embargo, fueron los primeros en buscar patrones.
Y lo que encontraron parece indicar que las matemáticas están a nuestro alrededor y son algo que descubrimos, una parte fundamental del mundo en el que vivimos.
Para ellos, las matemáticas eran tan reales como la música y eran más geniales y elegantes que cualquier cosa que la mente humana pudiera llegar a concebir.
Pero, fue lo que dijo una de las figuras más importantes de la Antigua Grecia sobre el origen de las matemáticas lo que aún hoy es la base de lo que creen muchos matemáticos.
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