Una estudiante de doctorado resuelve un problema abierto desde hace décadas. Lisa Piccirillo encuentra la solución a un famoso problema en teoría de nudos.

El nudo de Conway (derecha) y el nudo de Kinoshita-Terasaka (izquierda) son mutantes, es decir, uno puede obtenerse a partir del otro girando el círculo rojo.

Las matemáticas cuentan con múltiples problemas que llevan años abiertos. Algunos se resisten y cada pequeño avance es celebrado en la comunidad como un paso que acerca a su resolución, habitualmente compleja. Otros están ahí, esperando que llegue la persona que los mire desde una nueva perspectiva que haga que, de pronto, todos los velos caigan y uno quede sorprendido ante la simplicidad de la solución.

Este es el caso de Lisa Piccirillo, que resolvió un importante problema en teoría de nudos, abierto hace más de 50 años, siendo estudiante de doctorado en la Universidad de Texas en Austin. Su resultado, que recientemente ha sido publicado en la prestigiosa revista Annals of Mathematics, ha despertado un gran interés en la comunidad matemática.

El entusiasmo de esta acogida ha sorprendido a la propia joven, que reconoce no haber sido consciente en un primer momento del impacto que tendría su trabajo.

Piccirillo ha determinado que el llamado nudo de Conway, introducido por John Horton Conway (recientemente fallecido a causa de la Covid19), no tiene la propiedad de ser slice.

La pregunta fundamental que se intenta responder es si, dados dos nudos, es posible obtener uno de ellos a partir de deformaciones del otro. En caso de que sea posible, los nudos son equivalentes.

Pero empecemos por el principio: en matemáticas, un nudo sería una cuerda atada en la se han pegado los extremos entre sí. La teoría de nudos estudia las transformaciones que pueden hacerse a esa cuerda estirándola, retorciéndola, doblándola… sin llegar a cortarla. La pregunta fundamental que se intenta responder es si, dados dos nudos, es posible obtener uno de ellos a partir de deformaciones del otro. En caso de que sea posible, los nudos son equivalentes.

Para resolver estas cuestiones se emplean los invariantes de nudos, que son funciones que asignan un valor a cada nudo. Si un determinado invariante asigna valores diferentes a dos nudos, entonces no es posible deformar un nudo en el otro, es decir, no son nudos equivalentes.

Los invariantes permiten estudiar las propiedades de los nudos. El problema resuelto por Piccirillo se centra en la propiedad de un nudo de ser slice. Para definir este concepto tenemos que imaginar el nudo en un espacio de cuatro dimensiones. Así, un nudo es slice si es el borde de un disco en este espacio. No es sencillo formarse una idea intuitiva y precisamente por esto no es fácil determinar, en general, si un nudo es slice o no.

Afortunadamente, los invariantes pueden ser útiles en esta tarea, ya que proporcionan obstrucciones para que un nudo sea slice. Así, hasta el momento había sido posible determinar si 2977 de los 2978 nudos con menos de 13 cruces tienen la propiedad de ser slice o no. Todos menos un nudo: el nudo de Conway, de 11 cruces.

Piccirillo supo de la existencia de este problema durante un congreso en el verano de 2018. En sus propias palabras, lo tomó como un pasatiempo Piccirillo supo de la existencia de este problema durante un congreso en el verano de 2018. En sus propias palabras, lo tomó como un pasatiempo en el que aplicar algunas de las técnicas que había desarrollado como estudiante de doctorado. En poco menos de una semana consiguió dar respuesta a la pregunta: el nudo de Conway no es slice.

La prueba de su resultado es sorprendente por la combinación de originalidad y simplicidad (¡ojo con no confundir simplicidad con sencillez!). Su éxito radica en el uso de un invariante moderno para atacar un problema clásico: el “invariante s”, definido en 2010 por Jacob Rasmussen a partir de otro invariante conocido como homología de Khovanov, y en la idea de traza, un espacio de dimensión cuatro que puede asociarse a cada nudo. Si dos nudos tienen trazas equivalentes entonces o bien ambos tienen la propiedad de ser slice, o bien ninguno de los dos la tiene. La idea de Piccirillo consiste en construir un nudo cuya traza es equivalente a la traza del nudo de Conway, y usar el invariante s para comprobar que el primero no es slice.

Más allá de completar la clasificación de nudos slice de menos de 13 cruces, la importancia de este resultado se esconde en algo más sutil: en el estudio de la clasificación de nudos, es fundamental determinar qué propiedades se preservan por mutación. El nudo de Conway es mutante de otro nudo con nombre propio: el nudo de Kinoshita-Terasaka (ver Figura al margen), que sí es slice. Así, el trabajo de Piccirillo proporciona el primer ejemplo de un nudo no slice (que sí es topológicamente slice) cuyo mutante sí lo es.

Marithania Silvero es profesora ayudante, doctora de la Universidad de Huelva y miembro del Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla (IMUS).

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón García-Longoria (ICMAT)

El País.

https://elpais.com/ciencia/2020-05-29/una-estudiante-de-doctorado-resuelve-un-problema-abierto-desde-hace-decadas.html

https://elpais.com/ciencia/cafe_y_teoremas/ 

Más en BBC aquí, https://www.bbc.com/mundo/noticias-52992886

Grigori Perelman, el genio matemático que resolvió uno de los 7 problemas del milenio y se retiró del mundo

Una joven matemática refuta una conjetura establecida hace 30 años. El premio de investigación Vicent Caselles reconoce a Marithania Silvero por el hallazgo de un nudo que rebate una teoría del científico Louis Kauffman.

Marithania Silvero aún no había nacido cuando Louis Kauffman (Nueva York, 1945) planteó en 1983 la conjetura que establecía que dos familias de nudos matemáticos eran equivalentes. Silvero nació en Huelva en 1989, cuando la comunidad científica había aceptado la teoría del matemático norteamericano. En 2015, tres décadas después de que Kauffman planteara su conjetura y poco antes de un encuentro programado entre ambos científicos, Marithania Silvero refutó la teoría del maestro. El matemático no solo avaló la solución hallada por la onubense sino que ambos se han convertido en estrechos colaboradores. Su hallazgo ha sido reconocido con el premio de investigación Vicent Caselles, otorgado por la Real Sociedad Matemática Española y la Fundación BBVA.

A Silvero le gustan los desafíos desde niña. Su mejor pasatiempo eran los problemas y creció entusiasmada con el mundo de las matemáticas, ciencia en la que actualmente investiga y de la que es profesora en la Universidad de Huelva tras haber trabajado en otros centros de investigación de España, Polonia y Estados Unidos.

Un nudo de ocho cruzamientos. STUART JANTZEN Su investigación se enmarca en la topología y, más concretamente, en la teoría de nudos, que la científica simplifica para hacerlo comprensible a partir de una cuerda con los extremos pegados. Los matemáticos estudian las transformaciones que pueden hacerse a esa cuerda, estirándola y cambiando su forma, pero sin cortarla. De estas transformaciones surgen propiedades y, atendiendo a distintas características, los nudos se agrupan en familias.

Louis Kauffman estableció en 1983 que dos de estas familias, la de nudos alternativos y la de pseudoalternantes, eran equivalentes. Hasta que Silvero comenzó su tesis, dirigida por los profesores Juan González-Meneses y Pedro González, y defendida en el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Sevilla, al que pertenece como colaboradora. Marithania construyó un nudo pseudoalternante y, recurriendo al polinomio de Conway, descubrió que este nudo no podía ser alternativo, refutando así la conjetura de Kauffman.

Apasionada de la investigación pura, defiende la relevancia de la ciencia básica. “Los matemáticos estudiamos los nudos porque podemos definirlos y analizarlos para conocer sus propiedades”, explica. La Teoría de Nudos tiene su origen, según explica la investigadora, en el intento de William Thomson, el físico y matemático conocido como Lord Kelvin, de clasificar los átomos según las trayectorias que describían las partículas que los forman. Aunque su teoría resultó no ser válida, la clasificación de nudos quedó como un problema matemático y surgió la rama de la teoría de nudos, que tiene aplicaciones en la química, la biología, la física y otras disciplinas.

Pero Marithania no se centra en las aplicaciones de los resultados, sino en los cimientos que después las hacen posibles. “Me gusta la investigación pura, la ciencia básica, que es la que se encarga de ampliar los límites del conocimiento. Si después mis resultados pueden ayudar a científicos de otros campos a resolver sus problemas, yo me alegraré, pero ese no es mi objetivo”, afirma, aunque reconoce que esta parte, fundamental para establecer las bases de posteriores investigaciones, es menos visible.

Silvero refutó la conjetura de Kauffman con un contraejemplo, algo que es ella en el mundo de la ciencia española si se tiene en cuenta que el último informe PISA nos suspende en matemáticas. Ella atribuye su trayectoria al apoyo constante que encontró en su familia, profesores y amigos. Por eso defiende la importancia de la docencia, de que los maestros amen la materia que imparten y transmitan ese sentimiento a los alumnos. “Creo que una de las causas de los resultados de PISA podría ser el hecho de que, en los institutos, las matemáticas no estén siendo enseñadas por matemáticos. Profesionales de otros campos pueden tener los conocimientos, pero es muy difícil que puedan despertar y transmitir un interés y una pasión por las matemáticas que ellos mismos no tienen”.

También se siente afortunada al no haber encontrado los obstáculos que limitan el acceso de las mujeres a las carreras de ciencias. Sus estancias en el extranjero, su dedicación a la investigación y su carrera han contado siempre con el respaldo de su familia y profesores. “No he sentido un trato diferente al de mis compañeros, pero sí es verdad que conozco a compañeras que han tenido otras experiencias”, resume para admitir que su mundo no es ajeno a los prejuicios comunes en la sociedad. “Cuando digo que soy matemática, a veces me dicen: ‘No lo pareces’. Entonces yo les pregunto, ¿qué aspecto tiene una matemática?”, lamenta ante la persistencia de estereotipos e ideas preconcebidas.

Silvero también admite la ausencia de modelos actuales que orienten a las jóvenes hacia el mundo de la ciencia. Cree que no valen figuras decimonónicas porque las niñas y adolescentes no se identifican con ellas. De hecho, reconoce que no tuvo un modelo claro al que seguir, que lo construyó a partir de las actitudes de aquellos que le transmitían la pasión por la ciencia a la que se ha dedicado. Y, para solventarlo, participará en el próximo encuentro de la asociación internacional Greenlight For Girls (G4G) para promover las carreras científicas entre las escolares.

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