MATEMÁTICAS. D’Alembert y el cálculo de probabilidades.

El gran matemático y enciclopedista cuestionó la teoría de probabilidades convencional

Con su absurda ley procreativa, el rey machista de la semana pasada solo consiguió reducir drásticamente el número de sus súbditos, pero la proporción de hombres y mujeres siguió siendo la misma. Consideremos una muestra de 100 parejas que empiezan a procrear: entre sus primogénitos habrá aproximadamente 50 niños y 50 niñas; los progenitores de las segundas ya no podrán tener más descendencia; pero las otras 50 parejas, suponiendo que todas sigan procreando, tendrán aproximadamente 25 segundogénitos niños y 25 niñas, y así sucesiva e ¿indefinidamente? No: en principio, solo 12 o 13 parejas tendrán un tercer vástago, solo 6 o 7 tendrán un cuarto, solo 3 o 4 un quinto, solo 1 o 2 un sexto, y puede que ninguna un séptimo. Cada “remesa” de vástagos será la mitad de la anterior (y pronto se llegará a la tasa de natalidad cero), pero en todas ellas habrá aproximadamente el mismo número de niños que de niñas.

A pesar de su sencillez, el problema suscitó un amplio debate, en el marco del cual Juan José Rodríguez trajo a colación las críticas de d’Alembert a la teoría de probabilidades convencional, que, según él, no prestaba la debida atención a la experiencia al formular sus supuestos y sus definiciones. Lo cual, dicho sea de paso, hace más difícil de entender que el gran matemático y enciclopedista francés estimara, erróneamente, que la probabilidad de sacar al menos una cara al lanzar dos monedas al aire es 2/3. ¿Cuál es la probabilidad real y qué razonamiento engañoso conduce al valor 2/3? Curiosamente, esta estimación errónea es un claro exponente de esa falta de atención a las situaciones reales que el propio d’Alembert criticaba.

Un ejemplo de lo complicado que puede ser a veces formular adecuadamente un problema de probabilidades lo encontramos en la paradoja de Bertrand (no me refiero a su famosa paradoja económica relativa al equilibrio de Nash, sino a la probabilística, de la que ya nos ocupamos hace unos años):

¿Cuál es la probabilidad de que una cuerda trazada al azar en una circunferencia sea mayor que el lado del triángulo equilátero inscrito en ella? Según como se aborde el problema, podemos llegar a distintas respuestas: 1/2, 1/3, 1/4…, e invito a mis sagaces lectoras/es a reconstruir los razonamientos que pueden llevarnos a estos u otros valores. Por ejemplo, ¿cuál de las anteriores estimaciones sugiere la figura adjunta y por qué?

El hagadá de los caminantes sudorosos
La tradición oral nos ofrece numerosos e instructivos ejemplos de planteamientos erróneos, insuficientes, engañosos o inverosímiles. En esta línea, un conocido hagadá (cuento o fábula con moraleja de la tradición hebrea) habla de dos caminantes que -según le refiere un rabino a su discípulo- en un caluroso día de verano van por un sendero polvoriento. Por fin encuentran una fuente donde calmar su sed. Uno de los caminantes tiene el rostro sucio de sudor y polvo, mientras que el otro lo tiene seco y limpio. ¿Cuál de los dos se lava la cara?, pregunta el rabino.

La respuesta ingenua es que se lava la cara el que la tiene sucia. La respuesta ingeniosa es que se la lava el que la tiene limpia, pues cada uno ve el rostro de su compañero y no el propio, por lo que el que está limpio cree que él también está sucio y viceversa. Pero ¿cuál sería la respuesta realista, en la línea crítica de d’Alembert (y del rabino del hagadá)?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

https://elpais.com/ciencia/el-juego-de-la-ciencia/2022-05-27/dalembert-y-el-calculo-de-probabilidades.html

El simple error matemático que puede llevar a la bancarrota. BBC

Hace 15 años, un pueblo de Italia experimentó un extraño tipo de histeria colectiva conocida como "la fiebre del 53". La locura estaba relacionada con la lotería nacional.

Quienes apuestan en el Gioco del lotto, cuyo funcionamiento se parece al del bingo, deben elegir entre 11 ruedas diferentes, correspondientes a ciudades como Bari, Nápoles o Venecia.

Una vez que hayan elegido en qué ruedas jugar, pueden apostar por números que van del 1 al 90.

Las ganancias dependen de cuánto se apuesta inicialmente, cuántos números se eligen y cuánto se acierta.Sin embargo, en algún momento de 2003, el 53 simplemente dejó salir en los sorteos de Venecia, lo que llevó a los jugadores a apostar cada vez más a ese número, con la certeza de que pronto aparecería.

A principios de 2005, la fiebre del 53 parecía haber llevado a miles de personas a la ruina financiera, lo que se tradujo en una serie de suicidios.

La histeria sólo desapareció cuando el número finalmente se dejó ver en el sorteo del 9 de febrero, después de haber estado ausente en 182 y de que se hubiera apostado por él 4.000 millones de euros (poco menos de US$4.700 millones) en total.

Aunque puede parecer una suerte de locura, los perdedores se habían arruinado por un error de razonamiento llamado "falacia del jugador".

Se trata de algo preocupantemente común que nos puede llevar a equivocarnos en muchas de nuestras decisiones profesionales, desde la respuesta de un portero de fútbol durante un penalti, a inversiones bursátiles e incluso fallos judiciales sobre nuevos casos de petición de asilo.

Para saber si eres de los que caerían en la falacia del jugador, imagina que lanzas una moneda al aire una serie de veces y obtienes la siguiente secuencia: cara, cara, cruz, cruz, cruz, cruz, cruz, cruz, cruz, cruz, cruz, cruz, cruz .
¿Qué posibilidades hay de que consigas cara en el próximo lanzamiento?
Mucha gente cree que, por cuestión de probabilidades, la secuencia debe nivelarse y, por consecuencia, le parece inevitable que a continuación surja cara.

Pero la teoría de la probabilidad básica nos dice que los eventos son estadísticamente independientes. Esto que significa que las probabilidades son exactamente las mismas cada vez que se lanza la moneda al aire.

La probabilidad de que salga cara sigue siendo del 50% incluso si se han obtenido cruz 500 o 5.000 veces seguidas.

Por la misma razón, HTHTTH es tan probable como HHHHHH.

Aunque a muchos les sigue sin parecer así y continúan pensando que la secuencia mixta es de alguna manera más probable que la continua.

La falacia del jugador ha centrado el interés de los investigadores que estudian los juegos de azar.
También se la conoce como la "falacia de Montecarlo", porque en 1913 una de las mesas de ruleta del casino de Mónaco registró 26 negros seguidos.
Los investigadores que han estudiado las imágenes captadas por cámaras de seguridad de distintos casinos confirman que dicho error sigue afectando a los apostadores en la actualidad.
Sorprendentemente, la educación y la inteligencia no nos protegen frente al sesgo.

Más vulnerables
De hecho, un estudio realizado por investigadores chinos y estadounidenses descubrió que las personas con un coeficiente intelectual más alto son en realidad más susceptibles a la falacia del jugador que aquellas que obtienen un menor puntaje en las pruebas estandarizadas.
Podría ser que las personas más inteligentes piensen demasiado en los patrones y crean que son lo suficientemente inteligentes como para predecir lo que vendrá después.

Cualquiera que sea la razón de estas falsas intuiciones, varias investigaciones posteriores han revelado que la falacia del jugador puede tener graves consecuencias más allá de los casinos.

Ese mismo sesgo parece estar presente en los mercados de valores, por ejemplo.

Cuando hay muchos cambios a corto plazo en el precio de las acciones suelen ser esencialmente fluctuaciones aleatorias.

Y Matthias Pelster, de la Universidad de Paderborn en Alemania, ha demostrado que los inversores suelen basar sus decisiones en la creencia de que los precios pronto se "igualarán".

LOS INVERSORES DEBERÍAN COMPRAR Y VENDER TENIENDO EN CUENTA QUE PUEDE SEGUIR LA RACHA, PERO TAMBIÉN QUE PUEDE CAMBIAR", DICE.

"Sin embargo, eso no es lo que nos dicen los datos".

La falacia del jugador supone un problema particularmente en aquellas profesiones que requieren un juicio imparcial, sin sesgos.

Un equipo de investigadores analizó recientemente las decisiones jueces en Estados Unidos ante las solicitudes de asilo.

También los jueces
El orden de los casos no debería importar, pero los investigadores descubrieron que, debido a la falacia del jugador, existía un 5,5% menos de probabilidades de que un juez concediera el asilo a un solicitante si a los dos anteriores se lo había otorgado.

El misterio de por qué las mujeres europeas tienen el doble de probabilidades que los hombres de ser rubias Esto supone una seria disminución de la tasa de aceptación media del 29%.

Conscientemente o no, parecía que llegaban a la conclusión de que era demasiado improbable poder decidir lo mismo tres veces seguidas, por lo que se inclinaban por romper la racha.

BBC