_- Existen numerosos ejemplos de hallazgos matemáticos realizados en prisiones.
Quizá el más famoso sea el del matemático francés André Weil, quien desarrolló unas conjeturas enormemente influyentes mientras cumplía condena en una prisión militar en Rouen (Francia).
En su autobiografía, Weil afirmó que mientras estuvo en la cárcel fue capaz de alcanzar una claridad de pensamiento singular.
Pero, ¿realmente hay alguna relación especial entre prisiones y matemáticas?
La historia de Christopher Havens parece avalar esta posibilidad
Existen numerosos ejemplos de hallazgos matemáticos realizados en prisiones.
Quizá el más famoso sea el del matemático francés André Weil, quien desarrolló unas conjeturas enormemente influyentes mientras cumplía condena en una prisión militar en Rouen (Francia).
En su autobiografía, Weil afirmó que mientras estuvo en la cárcel fue capaz de alcanzar una claridad de pensamiento singular.
Pero, ¿realmente hay alguna relación especial entre prisiones y matemáticas?
La historia de Christopher Havens parece avalar esta posibilidad.
Una condena por asesinato
Havens fue declarado culpable de asesinato y condenado a 25 años de cárcel en el estado de Washington. Descubrió su amor por las matemáticas y su don para ellas unos meses después de ingresar en prisión, en una celda de aislamiento.
Este viraje a las matemáticas y a la investigación hicieron que en enero de 2020 una revista académica de matemáticas publicara un artículo en el que él figuraba como primer autor.
El asesinato cometido para ocultar un descubrimiento matemático "peligroso"
En enero de 2013, , un colega le reenvió por correo electrónico a mi compañero Matthew Cargo (que por entonces era editor de envíos de la editorial Mathematical Sciences Publishers) la siguiente carta:
"A quien corresponda:
Estaría interesado en recibir más información con vistas a una subscripción a Annals of Mathematics para mi uso personal. En este momento estoy cumpliendo una condena de 25 años en el Departamento de Prisiones del estado de Washington, y he decidido usar este tiempo para ser mejor persona.
Dado que mi interés son los números, estoy estudiando cálculo y teoría de números. ¿Podría enviarme por favor algo de información sobre su publicación matemática? Christopher Havens, #349034
PD: Soy autodidacta, y a menudo me quedo atascado mucho tiempo con ciertos problemas. ¿Sabe de alguien con quien podría establecer una relación por correspondencia, partiendo de la base de que yo enviaría sobres postales con franqueo pagado?
Aquí no hay profesores que me puedan ayudar, por lo que a menudo me gasto cientos de dólares en libros que luego no contienen la ayuda que necesito. Gracias".
La primera carta enviada por Havens, un preso que cumple condena en el Departamento de Prisiones del estado de Washington.
Cargo puso a Havens en contacto con mis padres, que son ambos matemáticos.
Un periodo productivo
Al principio, mi padre, Umberto Cerruti, un teórico de números que fue profesor de la Universidad de Turín, en Italia, aceptó ayudar a Havens únicamente porque se lo pedimos.
Pensaba que era de esas personas que se entusiasmaban de repente por los números y terminaban desarrollando una teoría llena de agujeros. Para probarlo, le envió un problema para que lo resolviera.
Mi padre recibió como respuesta, y por vía postal, una hoja de 120 centímetros que contenía una fórmula larga y compleja.
La metió en el ordenador y, para su sorpresa, ¡descubrió que los resultados eran correctos!
Tras esto, mi padre invitó a Havens a que se uniera a él para resolver un problema de fracciones continuas en el que estaba trabajando.
Las fracciones continuas, descubiertas por Euclides en el año 300 a.C., permiten expresar todos los números a través de secuencias de números enteros.
Por ejemplo, el número pi es el ratio entre el valor de la circunferencia de un círculo y su diámetro: 3,14159… La secuencia de números que siguen al primer dígito es infinita y totalmente caótica. Pero expresada como fracción continua, dicha secuencia se convierte en algo sencillo y hermoso.
El número pi es el ratio entre el valor de la circunferencia de un círculo y su diámetro y su secuencia es infinita y totalmente caótica.
Las fracciones continuas ejemplifican la pujanza de la teoría de números, campo al que también pertenecían la mayoría de las contribuciones de Weil.
La teoría de números ha permitido avances en la criptología actual, que a día de hoy es vital para el funcionamiento de los bancos, de la actividad financiera y de las comunicaciones militares.
La aportación de Havens, que se publicó en la revista Research in Number Theory en enero de 2020, demostró por primera vez la existencia de una serie de regularidades en la aproximación a una vasta categoría de números.
Qué son los números imaginarios y por qué sin ellos no podrías leer esto
Se trata de un descubrimiento que podría abrir nuevos campos de investigación dentro de la teoría de números.
De hecho, encontrar nuevas formas de escribir cifras es una de las cuestiones más relevantes para un teórico de números, aunque no es menos cierto que dichos descubrimientos podrían no tener una aplicación inmediata.
La teoría de números tiene muchas aplicaciones prácticas, como por ejemplo la actividad financiera y las comunicaciones militares.
Por ejemplo, en este momento hay superordenadores que se dedican solo a procesar billones de dígitos del número pi.
Havens trabajó en este tema sin más herramientas que el lápiz y el papel; con sus compañeros de investigación intercambiaba cartas convencionales que debían cruzar el océano.
Las condiciones en prisión
Pero, ¿cómo fue posible que ocurriera algo así? Havens lo explicó con sus propias palabras:
"Menos de un año después de ingresar en prisión, mi comportamiento me llevó al agujero (la celda de aislamiento). Y fue precisamente en el agujero donde mi vida dio un giro, pues allí me di cuenta de que amaba las matemáticas. Me pasaba unas diez horas al día estudiando (…) Decidí ingresar en el Programa de Transición Intensiva (PTI).
"Se trata de un programa de un año de duración que ayuda a que la gente mantenga el equilibrio mental. Está diseñado para ayudarte de forma efectiva a que 'te saques la cabeza del trasero'. Eso se convirtió en mi objetivo.
"Comer, matemáticas, sacarme la cabeza del trasero, lavarme los dientes, enjuagarme y repetir. Fue una época muy importante de mi vida".
Para Evans el estudio de las matemáticas en la cárcel fue una manera para reconsiderar su vida y plantearse un futuro.
Fue después de completar el PTI que Havens envió su petición a la revista matemática, y mis padres se convirtieron en sus tutores. Le enviaban montones de libros, pero la prisión los bloqueaba todos debido a que no provenían de una editorial autorizada.
Havens empezó a trabajar entonces con el personal de la cárcel para poner en marcha el Proyecto de Matemáticas en Prisión, en el que efectivamente le enseñaba matemáticas a otros reclusos.
A cambio se les permitió disponer de una pequeña biblioteca así como de una habitación para poder recibir visitas dos veces por semana. Aquello funcionó, y la cárcel admitió la entrada de las cajas de libros.
Para escribir este texto mantuve tres conversaciones telefónicas de 20 minutos con Havens (el tiempo máximo que le dejan hablar), durante las cuales usó la palabra educación con mucha frecuencia:
"La educación fue un incordio para mí. Fui un estudiante fracasado (estaba enganchado a las drogas, no lograba mantener los trabajos, nunca llamaba a casa) (…) La educación es muy difícil en la cárcel (…) Por eso ahora la estoy buscando fuera. Trato de tender puentes y fortalecer mis relaciones con gente de fuera, porque para mí la educación es eso.
"Cada oportunidad que se me plantea es una experiencia de aprendizaje, y lo es porque aquí es muy raro que se te presente ninguna".
Havens también ve las matemáticas como un modo de "pagar su deuda con la sociedad":
"Puedo decir con certeza que me he trazado un plan de vida a largo plazo para poder pagar una deuda impagable. Sé que se trata de un plan permanente (…) y que nunca llegará el día en que pueda saldar la deuda del todo.
"Pero esto no es algo malo, sino inspirador. Puede sonar estúpido, pero a lo largo de mi condena me ha acompañado el alma de mi víctima; a ella le estoy dedicando mis mayores logros".
Las matemáticas después de la cárcel
Lo cierto es que, a pesar de que hay datos sólidos que avalan que sacarse un título disminuye significativamente la posibilidad de reincidir, las oportunidades de ir más allá de la enseñanza obligatoria en prisión son reducidas.
Y sin acceso a internet, la mayoría de los cursos a distancia para sacarse un título están fuera del alcance de los presos.
Havens ve las matemáticas como un modo de "pagar su deuda con la sociedad".
En este momento Havens está estudiando para obtener una licenciatura en ciencias en la Adams State University, que le da la opción de seguir el curso por correo postal.
Pero él ya tiene todos los conocimientos matemáticos que allí le exigen, por lo que Havens quiere que le asignen un tutor de matemáticas para establecer contacto de forma regular.
Cuando salga de la cárcel tiene la intención de terminar la licenciatura, a pesar de las dificultades evidentes que, en este sentido, le supondrá su historial penal.
Quiere empezar la carrera de Matemáticas, y planea además transformar el Proyecto de Matemáticas en Prisión en una organización sin ánimo de lucro que ayude a los reclusos con talento en esta disciplina.
*Marta Cerruti es Profesora Asociada de Ingeniería de materiales en la universidad McGill de Montreal, en Canadá.
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viernes, 8 de enero de 2021
domingo, 21 de enero de 2018
PARADOJA DE RUSSELL
Nos retrotraemos a 1901, cuando Russell estaba enfrascado en sus investigaciones sobre los fundamentos lógicos de las matemáticas. Esto requirió que examinara las relaciones entre colecciones de cosas (Russell hablaba de clases, aunque el término moderno es conjunto). La naturaleza de las "cosas" de las clases era inmaterial; lo que importa era la lógica abstracta de la teoría de conjuntos.
Pertenecer a un conjunto parecía algo trivial. Si consideramos el conjunto S={a, b, c}, entonces b es un miembro de S pero g no. Si consideramos el conjunto de todos los números enteros pares, entonces 2, 6 y 1.660 son miembros del conjunto, mientras que 3, 1/2, p no lo son.
Haciendo avanzar el grado de abstracción un poco, observamos que los miembros de un conjunto pueden ellos mismos ser conjuntos. Para el conjunto de los miembros T={a, {b,c}}, el primer miembro es a y el segundo es el conjunto {b, c}. O supóngase que permitimos que W sea el conjunto que consta del conjunto de todos los números enteros pares y el conjunto de todos los números enteros impares. Esto es, W={{ 2, 4, 6, 8, ...} , { 1, 3, 5, 7, ...}}.
El conjunto W tiene dos miembros, siendo cada uno de ellos en sí mismo un conjunto que consta de una infinitud de miembros.
El hecho de que un conjunto pueda tener como miembros a conjuntos suscitó a Russell una pregunta curiosa: ¿Puede un conjunto contenerse a sí mismo? Escribió que "me parecía que una clase a veces es y a veces no es miembro de sí mismo"(24).
Ponía como ejemplo el conjunto de todas las cucharillas, que ciertamente es una cucharilla. Por tanto, el conjunto de todas las cucharillas no es un miembro de sí mismo. Asimismo, el conjunto de todas las personas, no es él mismo una persona y por ello no es un miembro de sí mismo.
Por otra parte, a Russell le parecía que ciertos conjuntos sí de contienen a sí mismos como miembros. Su ejemplo era el conjunto de todas las cosas que no eran cucharillas. Este conjunto de no cucharillas, contenía tenedores, primeros ministros británicos, números con 8 cifras; efectivamente, todo lo que no es una cucharilla. Pero el conjunto mismo no es con seguridad una cucharilla. ( no se podía mover el té con él ) y, por tanto, correctamente, pertenece dentro de sí mismo todavía a otra no cucharilla.
O considérese el conjunto X de todos los conjuntos que se pueden describir mediante 20 o menos palabras. El conjunto de todos los búfalos sería un miembro de X, ya que su descripción "El conjunto de todos los búfalos", sólo requiere 6 palabras. Asimismo, "el conjunto de todas las púas de puerco espín" (8 palabras) está en X, al igual que "el conjunto de todos los mosquitos que viven en Sudáfrica" (10 palabras). Pero este criterio de pertenencia garantiza que X ("el conjunto de todos los conjuntos que se pueden describir con 20 o menos palabras"), al haber sido descrito, por tanto, en 14 palabras debe incluirse dentro de sí mismo.
Claramente cada conjunto pertenece a una de estas dos categorías. O es un conjunto, como las cucharillas, que no es miembro se sí mismo -en cuyo caso lo llamaremos conjunto de Russell-, o es un conjunto, como X, que no se contiene a sí mismo entre sus miembros.
Estas inocentes reflexiones tomaron un giro amenazador cuando Russell decidió considerar el conjunto de todos aquellos conjuntos que no son miembros de ellos mismos. Estos es, decidió reunir todos los conjuntos de Russell en un enorme conjunto nuevo al que llamaremos R. Entonces R tendrá entre sus miembros el conjunto de todas las cucharillas, el conjunto de todas las personas y muchísimos más.
Y ahora viene la pregunta que conmovió los fundamentos: ¿Es R miembro de sí mismo? Esto es, ¿es el conjunto de todas los conjuntos de Russell un conjunto de Russell?. Sólo puede haber dos respuestas a esta pregunta: si o no.
Supongamos que la respuesta es que sí. Entonces R es un miembro de R. Para convertirse en miembro, R tiene que haber satisfecho el criterio de pertenencia que subrayábamos en cursiva anteriormente: R es miembro de sí mismo. Por tanto, si R es miembro de R, entonces R no puede ser miembro de R. Esta abierta contradicción excluye la posibilidad de un "sí" a la pregunta mortal.
Pero, ¿qué ocurre si la respuesta es un no y R no es miembro de R? Entonces R ciertamente no es un miembro de sí mismo y, como nuestro conjunto de cucharillas, cumple el requisito de pertenencia para ser admitido en R. Por tanto, si R no es un miembro de R, automáticamente debe convertirse en miembro de R. De nuevo nos enfrentamos a una contradicción.
Para Russell todo esto debería haber sido muy sencillo. Sin embargo, de alguna forma "cada alternativa lleva a su opuesta y se da una contradicción". Quedó perplejo por la "clase tan particular" que había creado con una forma de razonar que "hasta ese momento le había parecido adecuada"(25) . Es lo que ahora llamamos la paradoja de Russell.
Puede resultar de ayuda presentar una ilustración algo más concreta de las sutilezas lógicas de su argumentación. Supongamos que un conocido experto en obras de arte decide clasificar las pinturas del mundo en una de dos categorías mutuamente excluyentes. Una categoría, de muy pocos cuadros, consta de todas las pinturas que incluyen una imagen de ellas mismas en la escena presentada en el lienzo. Por ejemplo, podríamos pintar un cuadro, titulado Interior, de una habitación y su mobiliaria -colgaduras en movimiento, una estatua, un gran piano- que incluye, colgando encima del piano, una pequeña pintura del cuadro Interior. Así, nuestro lienzo incluiría una imagen de sí mismo.
La otra categoría, mucho más corriente, constaría de todos los cuadros que no incluyen una imagen de sí mismos. Llamaremos a estos cuadros "Pinturas de Russell". La Mona Lisa, por ejemplo, es una pintura de Russell porque no tiene dentro de ella un pequeño cuadro de la Mona Lisa.
Supongamos además que nuestro experto en obras de arte monta una enorme exposición que incluye todas las pinturas de Russell del mundo. Tras ímprobos esfuerzos, se han reunido y colgado de las paredes de la sala inmensa. Orgulloso de su hazaña, el experto encarga a una artista que pinte un cuadro de la sala y de sus contenidos.
Cuando el cuadro esté terminado, la artista lo titula, con toda propiedad, Todas las pinturas del Russell del mundo. El galerista examina el cuadro cuidadosamente y descubre un pequeño fallo: sobre el lienzo, junto al cuadro de la Mona Lisa hay una representación de Todas las pinturas de Russell del mundo. Esto quiere decir que Todas las pinturas del mundo es un cuadro que incluye una imagen de sí mismo, y por consiguiente, no es una pintura de Russell. En consecuencia, no pertenece a la exposición y ciertamente no debería estar colgado en las paredes. El experto pide a la artista que borre la pequeña representación.
La artista la borra y vuelve a mostrar el cuadro al experto. Tras examinarlo, éste se da cuenta de que hay un nuevo problema: la pintura Todas las pinturas de Russell del mundo ahora no incluye una imagen de sí misma y, por tanto, es una pintura de Russell que pertenece a la exposición. En consecuencia, debe ser pintada como colgado de alguna parte de las paredes no vaya a ser que la obra no incluya todas las pinturas de Russell. El experto vuelve a llamar a la artista y le vuelve a pedir que retoque con una pequeña imagen el Todas las pinturas de Russell del mundo.
Pero una vez que la imagen se ha añadido, estamos otra vez al principio de la historia. La imagen debe borrarse, tras lo cual debe pintarse, y luego eliminarse, y así sucesivamente. Es de esperar que más pronto o más tarde la artista y el experto caigan en la cuenta de que algo no funciona: han chocado con la paradoja de Russell.
Todo esto puede parecer totalmente irrelevante. Pero recuérdese que el objetivo de la obra de Russell era edificar todas las matemáticas sobre el inconmovible fundamento de la lógica. Su paradoja ponía en peligro este programa. Lo mismo que el ocupante de un ático se preocuparía al saber que hay grietas en le sótano, el matemático debe reaccionar igualmente al saber que, en los fundamentos de su ciencia, existe una fisura lógica. Esto sugiere que todo el edificio matemático, como el bloque de apartamentos, podría un día derrumbarse.
No hace falta decir que Russell se sintió conmocionado por la existencia de su paradoja y escribió: "Sentí acerca de estas contradicciones lo mismo que debe sentir un ferviente católico acerca de los papas indignos"(26). Otros también se sintieron desalentados de forma similar, como es patente en el famoso intercambio epistolar entre Russell y el lógico Gottlob Frege (1848-1925). Frege había publicado sus Leyes fundamentales de la aritmética , un enorme tratado dirigido a explorar los fundamentos de la aritmética. En él, Frege había trabajado con conjuntos de la misma forma ingenua y arrogante que había conducido a Russell a su paradoja. Russell comunicó su ejemplo a Frege, quién inmediatamente reconoció que infligía un golpe de muerte a su intento. En el volumen segundo de sus Leyes fundamentales, que iba a mandar a la imprenta cuando recibió la carta de Russell, Frege tuvo que enfrentarse con la mayor pesadilla que puede asaltar a todo estudioso: que su obra, en el último momento, resulte incorrecta. Con un patetismo solo igualado por su honradez, escribió Frege: "Con nada más indeseable puede enfrentarse un científico que con deshacerse de sus fundamentos después de terminar su obra. Me ha puesto en esa situación una carta de Mr. Bertrand Russell cuando estaba a punto de mandar mi obra a la imprenta"(27).
El enunciado de la paradoja era claro, pero no su resolución. Tras años de intentos infructuosos, los lógicos finalmente intentaron zanjar la cuestión estipulando que un conjunto que se contenga a sí mismo realmente no es un conjunto. Mediante esta táctica lógica, y algunas definiciones cuidadosamente elaboradas, se proclamó que tales clases eran ilegítimas.
Lo razonable de esta aproximación se puede quizá ilustrar mediante nuestra fábula de las pinturas. ¿Es incluso permisible hablar de una pintura que contiene una representación de sí misma? Si Todas las pinturas de Russell del mundo contuvieran una imagen de sí mismas, entonces examinando más de cerca esa imagen, quizá con una lupa, se vería una pequeña imagen de Todas las pinturas. Dentro de ella habría aún una versión más pequeña de Todas las pinturas. Y así se proseguiría, por siempre, como los interminables reflejos de un espejo de sastre. Una pintura con semejantes reflejos nunca podría pintarse.
En un sentido crudo, esto ilustra la resolución de la paradoja que intentó Russell. Escribió que "lo que encierra a todos los miembros de una colección no debe él mismo ser un miembro de una colección"(28). En consecuencia, la naturaleza autorreferencial de la pertenencia en el conjunto de Russell era ilegítima. El conjunto de Russell no era en absoluto un conjunto.
Esta solución, que exigía algunas dolorosas circunvoluciones del pensamiento, parecía engorrosa y artificial. Russell hablaba de ella como una de esas "teorías que podrían ser verdaderas pero no bellas"(29). Sólo por esto, se transfería el estudio de los conjuntos de la esfera ingenua prerusseliana a un campo menos intuitivo.
Para los matemáticos indiferentes a cuestiones de fundamentación, todo el asunto parecía requerir más reflexión de la que merecía. Y Russell llegó a creer que su reducción final de las matemáticas a la lógica era menos satisfactoria de lo que él había sospechado en su juvenil optimismo.
La tensión intelectual y su descorazonadora conclusión se cobraron un precio muy terrible. Russell recordaría cómo después de esto "se apartó de la lógica matemática con una especie de naúsea"(30). Volvió a pensar en el suicidio, aunque decidió no hacerlo porque, como observó con cinismo, seguramente viviría para lamentarlo. Poco a poco se le pasó el disgusto y, como hemos visto, le quedaron fuerzas para luchar durante otros dos tercios de siglo.
Es difícil, en un balance final, resumir su larga vida. Fue una fuerza intelectual irresistible y el gran malandrín del siglo XX. Se desesperó con la condición humana y, sin embargo, luchó por mejorarla. Fue considerado un villano con la misma frecuencia con que fue proclamado un héroe. Pero ni sus peores enemigos le pueden negar que fue un hombre leal a sus convicciones. Como le había aconsejado su abuela, no siguió a una multitud de malhechores.
Le concedemos la última palabra. En un ensayo de 1925, "Lo que yo creo", Bertrand Russell nos daba una clave de lo que sostuvo a lo largo de su dilatada y turbulenta vida:
La felicidad-escribía este gran escéptico- no es, sin embrago, una verdadera felicidad porque deba llegar a un fin, al igual que no pierden su valor el pensamiento y el amor porque no sean eternos... Aun cuando las ventanas abiertas de la razón nos hagan al principio temblar de frío después de la acogedora caldees del abrigo de los mitos tradicionales de los humanos, al final el aire fresco nos vigoriza y los grandes espacios tienen su propio esplendor (31) .
Este trabajo ha sido realizado para el curso de SAEM Thales, Formación a Distancia a través de Internet, por M. Carmen Márquez García, cmgarcia@cica.es
Pertenecer a un conjunto parecía algo trivial. Si consideramos el conjunto S={a, b, c}, entonces b es un miembro de S pero g no. Si consideramos el conjunto de todos los números enteros pares, entonces 2, 6 y 1.660 son miembros del conjunto, mientras que 3, 1/2, p no lo son.
Haciendo avanzar el grado de abstracción un poco, observamos que los miembros de un conjunto pueden ellos mismos ser conjuntos. Para el conjunto de los miembros T={a, {b,c}}, el primer miembro es a y el segundo es el conjunto {b, c}. O supóngase que permitimos que W sea el conjunto que consta del conjunto de todos los números enteros pares y el conjunto de todos los números enteros impares. Esto es, W={{ 2, 4, 6, 8, ...} , { 1, 3, 5, 7, ...}}.
El conjunto W tiene dos miembros, siendo cada uno de ellos en sí mismo un conjunto que consta de una infinitud de miembros.
El hecho de que un conjunto pueda tener como miembros a conjuntos suscitó a Russell una pregunta curiosa: ¿Puede un conjunto contenerse a sí mismo? Escribió que "me parecía que una clase a veces es y a veces no es miembro de sí mismo"(24).
Ponía como ejemplo el conjunto de todas las cucharillas, que ciertamente es una cucharilla. Por tanto, el conjunto de todas las cucharillas no es un miembro de sí mismo. Asimismo, el conjunto de todas las personas, no es él mismo una persona y por ello no es un miembro de sí mismo.
Por otra parte, a Russell le parecía que ciertos conjuntos sí de contienen a sí mismos como miembros. Su ejemplo era el conjunto de todas las cosas que no eran cucharillas. Este conjunto de no cucharillas, contenía tenedores, primeros ministros británicos, números con 8 cifras; efectivamente, todo lo que no es una cucharilla. Pero el conjunto mismo no es con seguridad una cucharilla. ( no se podía mover el té con él ) y, por tanto, correctamente, pertenece dentro de sí mismo todavía a otra no cucharilla.
O considérese el conjunto X de todos los conjuntos que se pueden describir mediante 20 o menos palabras. El conjunto de todos los búfalos sería un miembro de X, ya que su descripción "El conjunto de todos los búfalos", sólo requiere 6 palabras. Asimismo, "el conjunto de todas las púas de puerco espín" (8 palabras) está en X, al igual que "el conjunto de todos los mosquitos que viven en Sudáfrica" (10 palabras). Pero este criterio de pertenencia garantiza que X ("el conjunto de todos los conjuntos que se pueden describir con 20 o menos palabras"), al haber sido descrito, por tanto, en 14 palabras debe incluirse dentro de sí mismo.
Claramente cada conjunto pertenece a una de estas dos categorías. O es un conjunto, como las cucharillas, que no es miembro se sí mismo -en cuyo caso lo llamaremos conjunto de Russell-, o es un conjunto, como X, que no se contiene a sí mismo entre sus miembros.
Estas inocentes reflexiones tomaron un giro amenazador cuando Russell decidió considerar el conjunto de todos aquellos conjuntos que no son miembros de ellos mismos. Estos es, decidió reunir todos los conjuntos de Russell en un enorme conjunto nuevo al que llamaremos R. Entonces R tendrá entre sus miembros el conjunto de todas las cucharillas, el conjunto de todas las personas y muchísimos más.
Y ahora viene la pregunta que conmovió los fundamentos: ¿Es R miembro de sí mismo? Esto es, ¿es el conjunto de todas los conjuntos de Russell un conjunto de Russell?. Sólo puede haber dos respuestas a esta pregunta: si o no.
Supongamos que la respuesta es que sí. Entonces R es un miembro de R. Para convertirse en miembro, R tiene que haber satisfecho el criterio de pertenencia que subrayábamos en cursiva anteriormente: R es miembro de sí mismo. Por tanto, si R es miembro de R, entonces R no puede ser miembro de R. Esta abierta contradicción excluye la posibilidad de un "sí" a la pregunta mortal.
Pero, ¿qué ocurre si la respuesta es un no y R no es miembro de R? Entonces R ciertamente no es un miembro de sí mismo y, como nuestro conjunto de cucharillas, cumple el requisito de pertenencia para ser admitido en R. Por tanto, si R no es un miembro de R, automáticamente debe convertirse en miembro de R. De nuevo nos enfrentamos a una contradicción.
Para Russell todo esto debería haber sido muy sencillo. Sin embargo, de alguna forma "cada alternativa lleva a su opuesta y se da una contradicción". Quedó perplejo por la "clase tan particular" que había creado con una forma de razonar que "hasta ese momento le había parecido adecuada"(25) . Es lo que ahora llamamos la paradoja de Russell.
Puede resultar de ayuda presentar una ilustración algo más concreta de las sutilezas lógicas de su argumentación. Supongamos que un conocido experto en obras de arte decide clasificar las pinturas del mundo en una de dos categorías mutuamente excluyentes. Una categoría, de muy pocos cuadros, consta de todas las pinturas que incluyen una imagen de ellas mismas en la escena presentada en el lienzo. Por ejemplo, podríamos pintar un cuadro, titulado Interior, de una habitación y su mobiliaria -colgaduras en movimiento, una estatua, un gran piano- que incluye, colgando encima del piano, una pequeña pintura del cuadro Interior. Así, nuestro lienzo incluiría una imagen de sí mismo.
La otra categoría, mucho más corriente, constaría de todos los cuadros que no incluyen una imagen de sí mismos. Llamaremos a estos cuadros "Pinturas de Russell". La Mona Lisa, por ejemplo, es una pintura de Russell porque no tiene dentro de ella un pequeño cuadro de la Mona Lisa.
Supongamos además que nuestro experto en obras de arte monta una enorme exposición que incluye todas las pinturas de Russell del mundo. Tras ímprobos esfuerzos, se han reunido y colgado de las paredes de la sala inmensa. Orgulloso de su hazaña, el experto encarga a una artista que pinte un cuadro de la sala y de sus contenidos.
Cuando el cuadro esté terminado, la artista lo titula, con toda propiedad, Todas las pinturas del Russell del mundo. El galerista examina el cuadro cuidadosamente y descubre un pequeño fallo: sobre el lienzo, junto al cuadro de la Mona Lisa hay una representación de Todas las pinturas de Russell del mundo. Esto quiere decir que Todas las pinturas del mundo es un cuadro que incluye una imagen de sí mismo, y por consiguiente, no es una pintura de Russell. En consecuencia, no pertenece a la exposición y ciertamente no debería estar colgado en las paredes. El experto pide a la artista que borre la pequeña representación.
La artista la borra y vuelve a mostrar el cuadro al experto. Tras examinarlo, éste se da cuenta de que hay un nuevo problema: la pintura Todas las pinturas de Russell del mundo ahora no incluye una imagen de sí misma y, por tanto, es una pintura de Russell que pertenece a la exposición. En consecuencia, debe ser pintada como colgado de alguna parte de las paredes no vaya a ser que la obra no incluya todas las pinturas de Russell. El experto vuelve a llamar a la artista y le vuelve a pedir que retoque con una pequeña imagen el Todas las pinturas de Russell del mundo.
Pero una vez que la imagen se ha añadido, estamos otra vez al principio de la historia. La imagen debe borrarse, tras lo cual debe pintarse, y luego eliminarse, y así sucesivamente. Es de esperar que más pronto o más tarde la artista y el experto caigan en la cuenta de que algo no funciona: han chocado con la paradoja de Russell.
Todo esto puede parecer totalmente irrelevante. Pero recuérdese que el objetivo de la obra de Russell era edificar todas las matemáticas sobre el inconmovible fundamento de la lógica. Su paradoja ponía en peligro este programa. Lo mismo que el ocupante de un ático se preocuparía al saber que hay grietas en le sótano, el matemático debe reaccionar igualmente al saber que, en los fundamentos de su ciencia, existe una fisura lógica. Esto sugiere que todo el edificio matemático, como el bloque de apartamentos, podría un día derrumbarse.
No hace falta decir que Russell se sintió conmocionado por la existencia de su paradoja y escribió: "Sentí acerca de estas contradicciones lo mismo que debe sentir un ferviente católico acerca de los papas indignos"(26). Otros también se sintieron desalentados de forma similar, como es patente en el famoso intercambio epistolar entre Russell y el lógico Gottlob Frege (1848-1925). Frege había publicado sus Leyes fundamentales de la aritmética , un enorme tratado dirigido a explorar los fundamentos de la aritmética. En él, Frege había trabajado con conjuntos de la misma forma ingenua y arrogante que había conducido a Russell a su paradoja. Russell comunicó su ejemplo a Frege, quién inmediatamente reconoció que infligía un golpe de muerte a su intento. En el volumen segundo de sus Leyes fundamentales, que iba a mandar a la imprenta cuando recibió la carta de Russell, Frege tuvo que enfrentarse con la mayor pesadilla que puede asaltar a todo estudioso: que su obra, en el último momento, resulte incorrecta. Con un patetismo solo igualado por su honradez, escribió Frege: "Con nada más indeseable puede enfrentarse un científico que con deshacerse de sus fundamentos después de terminar su obra. Me ha puesto en esa situación una carta de Mr. Bertrand Russell cuando estaba a punto de mandar mi obra a la imprenta"(27).
El enunciado de la paradoja era claro, pero no su resolución. Tras años de intentos infructuosos, los lógicos finalmente intentaron zanjar la cuestión estipulando que un conjunto que se contenga a sí mismo realmente no es un conjunto. Mediante esta táctica lógica, y algunas definiciones cuidadosamente elaboradas, se proclamó que tales clases eran ilegítimas.
Lo razonable de esta aproximación se puede quizá ilustrar mediante nuestra fábula de las pinturas. ¿Es incluso permisible hablar de una pintura que contiene una representación de sí misma? Si Todas las pinturas de Russell del mundo contuvieran una imagen de sí mismas, entonces examinando más de cerca esa imagen, quizá con una lupa, se vería una pequeña imagen de Todas las pinturas. Dentro de ella habría aún una versión más pequeña de Todas las pinturas. Y así se proseguiría, por siempre, como los interminables reflejos de un espejo de sastre. Una pintura con semejantes reflejos nunca podría pintarse.
En un sentido crudo, esto ilustra la resolución de la paradoja que intentó Russell. Escribió que "lo que encierra a todos los miembros de una colección no debe él mismo ser un miembro de una colección"(28). En consecuencia, la naturaleza autorreferencial de la pertenencia en el conjunto de Russell era ilegítima. El conjunto de Russell no era en absoluto un conjunto.
Esta solución, que exigía algunas dolorosas circunvoluciones del pensamiento, parecía engorrosa y artificial. Russell hablaba de ella como una de esas "teorías que podrían ser verdaderas pero no bellas"(29). Sólo por esto, se transfería el estudio de los conjuntos de la esfera ingenua prerusseliana a un campo menos intuitivo.
Para los matemáticos indiferentes a cuestiones de fundamentación, todo el asunto parecía requerir más reflexión de la que merecía. Y Russell llegó a creer que su reducción final de las matemáticas a la lógica era menos satisfactoria de lo que él había sospechado en su juvenil optimismo.
La tensión intelectual y su descorazonadora conclusión se cobraron un precio muy terrible. Russell recordaría cómo después de esto "se apartó de la lógica matemática con una especie de naúsea"(30). Volvió a pensar en el suicidio, aunque decidió no hacerlo porque, como observó con cinismo, seguramente viviría para lamentarlo. Poco a poco se le pasó el disgusto y, como hemos visto, le quedaron fuerzas para luchar durante otros dos tercios de siglo.
Es difícil, en un balance final, resumir su larga vida. Fue una fuerza intelectual irresistible y el gran malandrín del siglo XX. Se desesperó con la condición humana y, sin embargo, luchó por mejorarla. Fue considerado un villano con la misma frecuencia con que fue proclamado un héroe. Pero ni sus peores enemigos le pueden negar que fue un hombre leal a sus convicciones. Como le había aconsejado su abuela, no siguió a una multitud de malhechores.
Le concedemos la última palabra. En un ensayo de 1925, "Lo que yo creo", Bertrand Russell nos daba una clave de lo que sostuvo a lo largo de su dilatada y turbulenta vida:
La felicidad-escribía este gran escéptico- no es, sin embrago, una verdadera felicidad porque deba llegar a un fin, al igual que no pierden su valor el pensamiento y el amor porque no sean eternos... Aun cuando las ventanas abiertas de la razón nos hagan al principio temblar de frío después de la acogedora caldees del abrigo de los mitos tradicionales de los humanos, al final el aire fresco nos vigoriza y los grandes espacios tienen su propio esplendor (31) .
Este trabajo ha sido realizado para el curso de SAEM Thales, Formación a Distancia a través de Internet, por M. Carmen Márquez García, cmgarcia@cica.es
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