El hecho de que las superficies planas en el viento pudieran producir la fuerza lateral que ahora llamamos sustentación era una observación muy antigua. Dos de sus primeras aplicaciones, el molino de viento y la vela con aparejo de proa y popa, datan de hace al menos 800 años. También era perfectamente evidente para cualquier persona pensante que lo que mantenía a los pájaros y a los murciélagos en el aire eran las grandes superficies planas unidas a sus brazos. Ni las plumas de los pájaros ni la tela de las velas y las aspas de los molinos de viento tenían un grosor digno de mención, por lo que las primeras superficies sustentadoras eran simplemente eso: superficies.
Las superficies delgadas sujetas por una estructura de soporte se abombaban naturalmente bajo la presión del aire, adquiriendo lo que ahora llamamos una forma "combada", es decir, arqueada. El hecho de que la comba fuera realmente beneficiosa parece haber sido apreciado por primera vez, al menos por escrito, por un ingeniero civil inglés del siglo XVIII, John Smeaton, quien observó que curvar las superficies de sus palas mejoraba el rendimiento de los molinos de viento.
Durante el siglo y medio siguiente, no ocurrió nada digno de mención, aparte de la invención del avión moderno, en 1804, por otro inglés, George Cayley.
Cuando llegamos a principios del siglo XX, encontramos a los hermanos Wright realizando experimentos sistemáticos en túneles de viento para determinar no solo la mejor cantidad de comba que se debía utilizar, sino también la mejor distribución de la curvatura hacia adelante y hacia atrás. El brasileño Santos-Dumont, cuyos vuelos en París en 1906 en su enorme 14-bis ("Número 14 bis") son considerados por algunos como los primeros vuelos verdaderamente propulsados porque su avión se inclinaba y se elevaba por su propia fuerza (los Wright emplearon una catapulta y un raíl para elevarse en 1903), utilizó muy poca curvatura, tal vez porque sabía que hacía que el avión quisiera descender en picado. Por otro lado, las alas del Bleriot 11 que realizó la primera travesía aérea del Canal de la Mancha tenían mucha más curvatura de la necesaria.
Algunos de los primeros aviones tenían alas con forma de vela, formadas por una única capa cosida a largueros y costillas. Este tipo de alas se prestaban a la deformación del ala, que era la primera forma de control del alabeo. Cuando aparecieron los alerones, las alas tuvieron que hacerse rígidas. Cuando comenzó la Primera Guerra Mundial, los biplanos aerodinámicos de bastante buen rendimiento eran la norma; sus alas tenían superficies superiores e inferiores lisas con la estructura oculta en el interior. Sin embargo, sus secciones transversales apenas merecían el nombre de perfiles aerodinámicos. En realidad, eran simplemente formas parecidas a las de una anguila, redondeadas en la parte delantera y afiladas más o menos hasta un punto en la parte trasera, y engrosadas lo suficiente para envolver la estructura interna necesaria.
A pesar de la calidad aleatoria y ad hoc de estos primeros diseños de perfiles aerodinámicos, se hicieron esfuerzos para separar el trigo de la paja en túneles de viento. Al principio, lamentablemente, los investigadores no reconocieron la importancia de la escala. Probaron modelos muy pequeños a velocidades muy bajas y, como la velocidad y el tamaño realmente desempeñan papeles importantes en el comportamiento del aire en movimiento, sus resultados respaldaron la suposición errónea de que los perfiles aerodinámicos delgados eran superiores.
En 1917, la eminencia gris de la investigación aerodinámica alemana, Ludwig Prandtl, tenía un túnel de viento en Göttingen lo suficientemente grande como para permitir la prueba de secciones de perfiles aerodinámicos a escala real a velocidades realistas. También tenía un método matemático para crear curvas similares a los perfiles aerodinámicos. Pronto descubrió la superioridad de las secciones gruesas, cuyos radios de borde de ataque más grandes les permitían alcanzar ángulos de ataque más altos y, por lo tanto, producir más sustentación antes de entrar en pérdida que las delgadas. La creencia, sostenida durante mucho tiempo, de que las secciones más gruesas debían tener una mayor resistencia también resultó ser falsa. Anthony Fokker adoptó inmediatamente perfiles aerodinámicos gruesos para el triplano del Barón Rojo. Los constructores británicos y franceses persistieron con sus perfiles aerodinámicos delgados hasta el final de la guerra, pero luego los abandonaron.
Durante la década de 1930, el Comité Asesor Nacional de Aeronáutica de Estados Unidos (NACA, por sus siglas en inglés) desarrolló y probó "familias" de perfiles aerodinámicos. Algunas de las más exitosas fueron las series de cuatro y cinco dígitos de la NACA, que consistían en una "forma de espesor básico" (una forma simétrica de "lágrima") superpuesta a una "línea de comba" de la que el perfil derivaba la mayoría de sus características aerodinámicas, como la cantidad de sustentación que producía en un ángulo de ataque de cero y la fuerza del "momento de cabeceo" o tendencia a hundirse que tendía a producir la comba. Muchas de esas secciones todavía se utilizan hoy en día, y la serie 23000 de la NACA, creada en 1935, es probablemente el perfil aerodinámico más utilizado de la historia.
A pesar de todo el trabajo teórico altamente técnico realizado por la NACA, siguió existiendo una tradición paralela de lo que podría llamarse diseño de perfiles aerodinámicos descalzos. El modelo surgió del reconocimiento de que los perfiles aerodinámicos de las alas reales, muchas de las cuales todavía estaban revestidas de tela en aquella época, no se parecían mucho a los modelos idealizados de túnel de viento. En la práctica, cualquier cosa que pareciera un perfil aerodinámico funcionaba como un perfil aerodinámico. La flor más sobresaliente de la escuela descalza fue el Clark Y, una invención de 1922 de un coronel Virginius Clark, que lo inventó mediante el recurso poco científico de deformar uno de los perfiles aerodinámicos de Göttingen de la época de la guerra para hacer que el 70 por ciento de su parte inferior trasera fuera plana. La parte inferior plana resultó ser una característica muy atractiva. Facilitó la construcción (especialmente para los modelistas, que acudieron en masa al Clark Y porque les permitía hacer un ala recta simplemente fijándola a una superficie plana mientras se secaba el pegamento) y la medición del ángulo de ataque, y simplificó el tallado de las palas de la hélice. A pesar de no poseer ningún mérito aerodinámico especial, el Clark Y se ha utilizado en una gran variedad de aviones. (En ae.uiuc.edu/m-selig/ads/aircraft.html se puede encontrar una lista notable de cientos de tipos de aeronaves y los perfiles aerodinámicos que utilizan.)
En 1940, el desarrollo de los perfiles aerodinámicos había superado tres hitos, o al menos lo que yo considero hitos. El primero fue el reconocimiento general, no debido a un solo investigador, de que la curvatura ayudaba a la producción de sustentación y que si un perfil aerodinámico tenía un grosor más que insignificante, necesitaba ser redondeado en la parte delantera y algo afilado en la parte trasera. El siguiente fue el descubrimiento, debido a Prandtl, de que el grosor, es decir, un grosor mayor que, digamos, una décima parte de la longitud de la cuerda, era beneficioso. El tercer hito fue la sistematización de los perfiles, en gran parte obra de un investigador de NACA Langley llamado Eastman Jacobs, en "familias" con características bien documentadas, lo que permitió a los diseñadores seleccionar secciones adecuadas de un catálogo. (Por cierto, las palabras "perfil aerodinámico", "perfil" y "sección" son sinónimas tal como las estoy utilizando).
El cuarto hito fue una revolución en la relación entre las matemáticas y el diseño de perfiles aerodinámicos. Desde los primeros tiempos, se habían utilizado varios tipos de funciones matemáticas para generar formas de perfiles aerodinámicos. Pero estos procedimientos no se basaban en la física del flujo de fluidos; eran simplemente ecuaciones que producían líneas suavemente curvadas que parecían perfiles aerodinámicos. En 1931, otro aerodinámico de la NACA, Theodore Theodorsen, inventó un método matemático para calcular la distribución de la presión en cualquier perfil aerodinámico. La distribución de la presión es muy importante; es la clave para la resistencia, la sustentación y el comportamiento de pérdida del perfil aerodinámico.
Theodorsen era un hombre seguro de sí mismo. Cuando los resultados que calculaba no coincidían exactamente con las mediciones en el túnel de viento, descartó con ligereza los resultados empíricos por considerarlos poco fiables. Las relaciones entre Theodorsen y el experimentalista Eastman Jacobs fueron espinosas, y cuando Jacobs, jugando contra el modelo, propuso invertir el método de Theodorsen para obtener una forma de perfil aerodinámico que generara una distribución de presión deseada, Theodorsen descartó la idea por considerarla matemáticamente absurda. Sin embargo, Jacobs persistió y logró crear el procedimiento que se utiliza para diseñar perfiles en las computadoras digitales actuales.
El primer fruto del trabajo de Jacobs fue el perfil aerodinámico de flujo laminar natural. (Natural, en este contexto, significa que no se utiliza ningún método motorizado, como la succión de la capa límite, para mantener el flujo laminar). Su trabajo se basaba en el conocimiento de que el comportamiento de la capa límite (la delgada capa de aire, cercana a la superficie del perfil aerodinámico, que el avión arrastra consigo) está influido por la distribución de presión. Una capa límite laminar, en la que todas las partículas de aire siguen trayectorias paralelas a la superficie del perfil aerodinámico, podría mantenerse a lo largo de la parte delantera de un perfil aerodinámico, a medida que sus superficies superior e inferior se alejaban cada vez más. Pero cuando las superficies comienzan a converger, aparecen diminutos remolinos y vórtices turbulentos en la capa límite. La resistencia de una capa límite laminar es mucho menor que la de una turbulenta. Todos los perfiles aerodinámicos tienen cierto flujo laminar, pero la nueva familia de perfiles laminares desarrollados por la NACA extendió la capa límite laminar hasta el 60 por ciento de la longitud del perfil aerodinámico, reduciendo la resistencia hasta en dos tercios.
Como señala John Anderson en su Historia de la aerodinámica, los perfiles laminares, utilizados por primera vez en el Mustang P-51, tuvieron éxito en la reducción de la resistencia en el túnel de viento, pero no tanto en la práctica porque las irregularidades de la construcción práctica de metal, junto con el desgaste general y las inevitables salpicaduras de insectos, alteraban la capa límite laminar temperamental. Sin embargo, demostraron tener éxito de una manera inesperada: las secciones de flujo laminar, con su espesor máximo muy hacia atrás, resultaron ser muy adecuadas para aviones de alta velocidad, porque eran menos propensas a la formación temprana de ondas de choque transónicas. Anderson podría haber añadido que tuvieron cierto éxito, incluso en la práctica y en aviones de baja velocidad, cuando se empezaron a utilizar las alas de materiales compuestos. Un planeador de alto rendimiento con un perfil no laminar es impensable hoy en día.
El quinto hito en la evolución de los perfiles aerodinámicos llega con el desarrollo de perfiles especialmente diseñados para volar por debajo, pero cerca, de la velocidad del sonido. Estos llamados perfiles aerodinámicos supercríticos tienen morros gruesos, partes superiores planas y comba en popa, todas características diseñadas para retrasar la aparición de ondas de choque debidas al flujo supersónico local.
Se podría suponer que los perfiles aerodinámicos supersónicos representarían otro gran avance, pero en realidad no son perfiles aerodinámicos en el sentido normal. Las leyes del vuelo supersónico son completamente diferentes de las del vuelo subsónico, y las secciones de ala puramente supersónicas prescinden de una comba sofisticada y una distribución del espesor; una forma de diamante aplanada, o incluso, como en las superficies estabilizadoras del X-15, un triángulo con un extremo trasero romo, es suficiente. Una hoja de cuchillo es un ala supersónica tan buena como cualquier otra. De hecho, las alas de los aviones supersónicos todavía tienen perfiles aerodinámicos, generalmente muy delgados, pero eso es sólo porque despegan y aterrizan a velocidad subsónica.
Hoy en día, es habitual diseñar a medida los perfiles aerodinámicos de cada nuevo avión en un ordenador. En cierto modo, como señala Anderson, el diseño de perfiles aerodinámicos ha dado un giro completo. En los primeros años, cada avión nuevo podía tener un perfil aerodinámico nuevo. Lo mismo ocurre hoy, pero hoy ya no diseñamos nuevos perfiles aerodinámicos sin saber cómo funcionan.
La aeronáutica moderna ha transformado radicalmente la forma en que vivimos y conectamos con el resto del mundo. Las matemáticas han sido el motor silencioso que impulsa la aeronáutica desde sus orígenes hasta las alturas inimaginables de la modernidad. Para lograr un diseño eficiente y seguro de las aeronaves es necesario un conocimiento profundo de la aerodinámica, la resistencia al avance, la estabilidad y el control, en base a principios matemáticos fundamentales.
Por ejemplo, el famoso teorema de Euler para poliedros –propuesto por el matemático suizo en 1750–, actualmente es utilizado en el diseño de estructuras aeronáuticas, como marcos y celdas, para optimizar su rigidez y resistencia. El teorema establece una relación fundamental entre los vértices, aristas y caras de cualquier poliedro convexo –en concreto, que el número de caras más el número de aristas es igual al número de vértices menos dos–. Pues bien, en la construcción de aviones ligeros y drones, esta fórmula se emplea para calcular el número mínimo de elementos estructurales –como vigas y paneles– necesarios para mantener la estabilidad y la integridad de la aeronave, teniendo en cuenta las fuerzas y las tensiones que actúan sobre ella. También es útil en el diseño de materiales compuestos utilizados en la construcción de aviones, como los llamados paneles honeycomb, ya que permite determinar la cantidad óptima de celdas hexagonales (caras) y los puntos de unión (vértices) necesarios para equilibrar la resistencia y la ligereza del material.
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De los hombres pájaro a los hermanos Wright: las matemáticas que nos ayudaron a surcar el aire Por otro lado, en el diseño de aviones también es primordial analizar el flujo de aire alrededor de la estructura, especialmente el cálculo de las fuerzas aerodinámicas; las cuatro principales son el arrastre, la sustentación, el peso y el empuje. Para estudiar de forma detallada la interacción de estas fuerzas sobre toda la superficie del avión se utiliza el teorema de la divergencia (o teorema de Gauss). Este relaciona el flujo de un campo vectorial –que es la velocidad del aire en cada punto alrededor del avión– a través de una superficie cerrada con la divergencia del campo –que indica cómo está cambiando la velocidad del aire en cada punto, si es positiva el aire está entrando en ese punto, si es negativa está saliendo–.
Además, para poder pilotar las aeronaves, es necesario estudiar los controles de vuelo y la respuesta del aparato a diferentes fuerzas y perturbaciones. Para ello, se utilizan, entre otras cosas, las transformadas integrales –que permiten expresar una función como suma de otras, más manejables–, como la transformada de Laplace o la de Fourier. La primera se utiliza para analizar la dinámica de sistemas complejos, como las aeronaves y cohetes, sujetos a fuerzas variables en el tiempo y así comprender su comportamiento. También se emplea para modelar los sistemas de control que regulen el movimiento y la actitud de una nave de manera eficiente y precisa. Y además se aplica en el diseño de la comunicación por radio y sistemas de navegación, utilizando filtros y sistemas de procesamiento de señales para eliminar ruido y mejorar la calidad de la comunicación.
La transformada de Fourier se utiliza para descomponer una señal en sus componentes de frecuencia, lo que, en la industria aeronáutica, se aplica en el procesamiento de las señales generadas por sistemas de navegación, sistemas de comunicación y sensores a bordo, facilitando la detección del ruido e interferencias, y mejorando la calidad de las señales. Por otro lado, se ocupa para analizar vibraciones –causadas por los motores, turbulencias y cambios en las condiciones de vuelo– y descomponerlas en sus componentes de frecuencia, lo que es clave en el diseño de sistemas de amortiguación que garanticen la integridad estructural.
También es importante analizar riesgos y evaluar los sistemas de seguridad en los vuelos, para lo que se emplea el teorema de Bayes, un resultado fundamental de la teoría de la probabilidad propuesto hace más de 250 años, que establece cómo actualizar la probabilidad de un evento, después de conocer nuevos datos relevantes para el fenómeno estudiado. Por ejemplo, este teorema se aplica en el análisis de datos de accidentes aéreos y en la evaluación de factores contribuyentes, como el clima, el mantenimiento y el error humano, para mejorar la seguridad de los vuelos futuros. También para procesar las alertas de sistemas de detección de fallos en tiempo real de los aviones modernos, por ejemplo, para evaluar la probabilidad de que una alerta de sistema sea un falso positivo o un indicio real de un problema. Esto evita alarmas innecesarias que puedan distraer a los pilotos y, al mismo tiempo, garantiza que las alertas genuinas no se pasen por alto. Así, es posible estimar la probabilidad de fallas y evaluar el rendimiento de los sistemas electrónicos, mejorando la seguridad y la fiabilidad de las aeronaves.
Las matemáticas también están en la frontera tecnológica de la industria aeroespacial. Uno de los conceptos fundamentales en el desarrollo de aviones comerciales hipersónicos es la transformación de Prandtl-Glauert. Esta establece que, a velocidades cercanas a la velocidad del sonido, los efectos de comprensibilidad del aire se vuelven significativos y deben de tomarse en cuenta en los cálculos del arrastre y sustentación de la aeronave, lo que, en los cálculos para velocidades normales, no se hace. Sin duda, en cualquier avance futuro que experimente la aeronáutica, las matemáticas serán una herramienta fundamental.
Yoshua Díaz Interian es investigador predoctoral en el Instituto Politécnico Nacional (México).
Ágata Timón García-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).
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