Fue en Grecia donde la geometría se convierte en el estudio del orden espacial por medio de la relación de las formas y se considera a los objetos como entes ideales, que pueden ser manipulados mentalmente o con la sola ayuda de la regla y el compás. Pitágoras convierte a la Geometría en el ideal de su doctrina, en la que el concepto de demostración es aceptado como única la vía para el establecimiento de la verdad. Su conocimiento fue considerado básico para acceder a etapas superiores del desarrollo del espíritu humano. Su aporte es fundamental, pues eleva el concepto de número a la categoría de elemento primigenio, lo que también se da en las ciencias actuales.
El teorema de Pitágoras genera la primera crisis de la matemática. Sucede que si se asigna el valor de uno a cada cateto de un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide raíz de dos, número que para los griegos no existe por ser inconmensurable. Llaman a estos números irracionales y los imaginan excepcionales. Veinticuatro siglos después, Cantor demuestra que los racionales son una parte insignificante de los irracionales.
Para Platón, la geometría y los números son la quinta esencia del lenguaje filosófico y el ideal simbólico de la verdad espiritual. Por eso inscribe a la entrada de su escuela Nadie entre aquí si no es geómetra ; a él mismo se le atribuye la frase de que Dios hace siempre Geometría. Cuando habla del dios geómetra, hace referencia al hijo de Zeus, Apolo, al que los griegos otorgan el dominio de las ciencias y las artes y en cuyo templo está grabada la inscripción: Gnothi séauton, o sea, conócete a ti mismo, que evoca al conocimiento adquirido por la vía de la Geometría.
En Grecia aparece también un problema de lógica pura: Para demostrar un resultado, denominado tesis, se parte de una o de varias hipótesis. La veracidad de la tesis depende de la validez del razonamiento con que se la obtiene y de la veracidad de las hipótesis. Entonces se debe partir de hipótesis ciertas para poder confirmar la tesis. Determinar la veracidad de la hipótesis exige considerarla como una tesis, cuya hipótesis se deberá comprobar también. Se entra así en un proceso sin fin en el que, a su vez, cada hipótesis se convierte en tesis a probar.
Euclides zanja esta dificultad al proponer un sistema en el que se acepta sin demostración la veracidad de ciertas hipótesis, a partir de las cuales se deduce la tesis. Su sistema se halla sintetizado en su obra cumbre “Los Elementos”, modelo axiomático deductivo que se basa en cinco postulados y definiciones precisas, que constituyen toda la geometría y la aritmética de entonces. Euclides sintetiza el método deductivo y esquematiza la Geometría del mundo antiguo y medieval.
A pesar de que veracidad del quinto postulado está fuera de toda duda, trae desde sus inicios el problema de si puede ser deducido de los otros cuatro. Durante los siguientes milenios, uno de los principales trabajos en la geometría va a consistir en determinar si el quinto postulado es dependiente de los otros cuatro o no, o sea si puede ser considerado un teorema deducible de los otros. Hasta la alta Edad Media en las escuelas y en las universidades se enseña “Los Elementos”, pero aunque nunca se logra deducir si el quinto postulado es o no dependiente de los otros cuatro, se le dan formulaciones equivalentes, una de estas formulaciones dice que por un punto fuera de una recta pasa una sola recta paralela a dicha recta.
Axioma es una palabra que en griego significa “lo que parece justo o evidente”, para los filósofos antiguos de Grecia era aquello que no necesita ser demostrado; entonces, si se razona con axiomas se puede revelar el resto del conocimiento humano. Para la matemática, un axioma es una expresión lógica utilizada para racionalmente llegar a una conclusión. Resta por saber si hay contradicciones que se deducen de un sistema de axiomas y si, por lo tanto, existen afirmaciones cuya veracidad o falsedad no pueden ser probada; de ser así, el sistema es inconsistente.
Gauss deduce una geometría no contradictoria en la que no se cumple el quinto postulado de Euclides, pero le asusta tanto el resultado que no lo publica. Posteriormente, Lobachevsky y Bolyai dan a conocer al mundo, de manera simultánea e independiente, una geometría con cinco postulados idénticos a los de Euclides, excepto el quinto. Lobachevsky sostiene que por un punto, que no pertenece a una recta, pasan por lo menos dos rectas paralelas a la recta dada, intenta así llegar a una contradicción sobre el quinto postulado, al que niega y sustituye por otro aparentemente absurdo, lo que, aunque parezca falso, es válido desde el punto de vista de la lógica formal. Para su asombro obtiene una nueva geometría que es verdadera si es verdadera la de Euclides. Para negar el quinto postulado, Riemann sostiene que por un punto que no pertenece a una recta no pasa ni una recta paralela a la misma, lo que, aunque parezca falso, es válido desde el punto de vista de la lógica formal; asimismo, su geometría es verdadera si es verdadera la de Euclides.
Las tres geometrías, la de Lobachevsky, Riemann y Euclides, se diferencian sólo por la curvatura de Gauss de una superficie, que puede ser negativa, positiva o cero, respectivamente. En el primer caso, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor que 180 grados, en el segundo es mayor a 180 grados y en el tercero es igual a 180 grados. En la geometría de Riemann esto es fácil de observar, pues si nos situamos en el ecuador, donde dos paralelos caen perpendicularmente al meridiano ecuatorial, si a la suma de dos ángulos rectos, que es 180 grados, si se le agrega el valor del ángulo que los dos paralelos forman en el polo, el resultado da un valor mayor que 180 grados, para cualquier triángulo así formado.
El 10 de junio de 1854, Riemann dicta una conferencia en la Universidad de Gotinga. El tema es: “Sobre las hipótesis que están en los fundamentos de la geometría”. Su contenido constituye uno de los mayores logros científicos de la humanidad. De los presentes sólo su antiguo profesor, Gauss, escucha entusiasmado porque tal vez es el único que lo comprende.
En su conferencia generaliza el concepto de superficie para cualquier número de dimensiones, demuestra que la geodésica es la curva que minimiza la distancia entre dos puntos sobre cualquier superficie, es decir, un concepto análogo al de la recta en el plano, donde la línea recta minimiza la distancia entre dos puntos. Como ya se dijo, encuentra que hay superficies en las que los triángulos formados por geodésicas suman más de ciento ochenta grados y otras, en las que suman menos, lo que contradice al quinto postulado de Euclides y a la intuición humana.
Según Riemann, es la métrica del espacio, o sea la manera con que se mide la distancia que separa a dos puntos, lo que determina la geometría del espacio. Por ejemplo, el plano no es por sí mismo el plano euclidiano sino que con una métrica se cumple el quinto postulado, pero, con otra métrica, como la de Lobachevsky, no se verifica dicho postulado. Debe transcurrir más de medio siglo para que en 1915 sus ideas sean aplicadas por Einstein para crear la Teoría General de la Relatividad.
En 1872, Felix Klein publica El Programa de Erlangen, que se considera una gran revolución de la geometría y, en general, de la matemática, porque da una nueva definición de geometría. En este programa de investigación Klein descubre que la geometría euclidiana y las no euclidianas son casos particulares de la geometría proyectiva y que la geometría euclidiana es consistente, o no contradictoria, si y sólo si son consistentes las geometrías no euclidianas. Esta memoria, la Conferencia de Riemann y los Elementos de Euclides son los puntos más esenciales de la geometría.
El Programa de Erlangen es bastante sencillo y trata de dar una definición formal sobre qué es geometría, más allá de la idea intuitiva que sobre ella se tenga. La pregunta es lógica pues por haber tantas geometrías no se sabe lo que son, sólo está claro que no se trata del estudio de puntos, rectas, circunferencias y planos. Klein da la respuesta a esta pregunta introduciendo en la geometría el concepto de grupo, o sea un conjunto en el que está definida una operación y sus reglas. Descubre que la geometría es el estudio de las propiedades invariantes, o sea que no cambian al aplicarles una transformación de tipo grupal. Las transformaciones que permanecen invariantes deben tener estructura de grupo para la operación de composición, o sea, para la aplicación sucesiva de la misma transformación al resultado de la primera. Así descubre, por ejemplo, que la geometría euclidiana es el estudio de los invariantes mediante el grupo de los movimientos rígidos (como son las simetrías, los giros y las traslaciones paralelas). El descubrimiento de Klein es fundamental ya que permite clasificar a las geometrías y comprender cuál es la estructura general de cada una de ellas. Klein consagra a la geometría proyectiva como la reina de las geometrías. Con él, una ciencia fue capaz de definirse a sí misma de manera rigurosa, por lo que su pensamiento constituye el punto culminante del intelecto humano.
En 1920, Hilbert propuso investigar si la matemática puede enunciarse sobre razones sólidamente lógicas, si toda la ciencia deviene de un conjunto finito de axiomas escogidos correctamente y si se puede probar que este sistema es consistente, o sea que con sus reglas no se puede demostrar al mismo tiempo la verdad y la falsedad de una proposición formulada con toda precisión. Pretendía, así, crear un sistema matemático formal completo y consistente; de cumplirse con este objetivo, cualquier problema bien planteado podría ser resuelto mediante la razón.
Gödel, en contra de esta idea, obtuvo en 1931 el Teorema de la Incompletitud y demostró que incluso la aritmética, sólo mediante sus propios axiomas, no se podía demostrar a la vez que es consistente y completa; por lo tanto, no se podía demostrar la consistencia de ningún otro sistema más complejo que la contuviera; de esta manera, demostró que era indemostrable la completitud de un sistema que incluya la aritmética.
Según Gödel, un sistema axiomático, por definido y consistente que sea, posee serias limitaciones y siempre habrá en él una proposición verdadera P no demostrable; además, si la misma pudiera ser demostrada, el sistema sería contradictorio. Por ejemplo, si se afirmara que esta sentencia no puede ser demostrada, entonces el sistema formal donde se la pudiera demostrar sería inconsistente porque demostraría una sentencia que ella misma afirma que no puede ser demostrada, lo que es contradictorio. Si una sentencia no se puede probar dentro de un sistema formal, entonces lo que ella afirma es verdadero y, por tanto, la sentencia es consistente, pero como el sistema contiene una afirmación cierta, que no se puede probar, entonces el sistema es incompleto.
El teorema de Gödel demuestra que cualquier sistema es necesariamente incompleto y contiene afirmaciones que no se pueden refutar ni demostrar. Para ello, Gödel construyó una fórmula verdadera, que no podía ser demostrada; esto significa que todo sistema consistente no es completo. La existencia de un sistema incompleto no es sorprendente y simplemente significa que en él no se hallan todos los axiomas necesarios; pero éste no puede ser completado, pues cada vez que se añade un nuevo axioma, habrá por lo menos uno que haga falta; así, de esta manera, nunca se podrá encontrar un conjunto completo de axiomas. Consecuentemente, es imposible implementar el sistema formal planteado por Hilbert. Una versión posterior del teorema de Gödel indica que ningún sistema deductivo, en el que esté incluida la aritmética, puede ser a la vez consistente y completo. La incompletitud afecta a la lógica formal, que usa el formalismo para definir sus principios, pues nunca se podrá encontrar un sistema axiomático que sea capaz de demostrar todas las verdades matemáticas y ninguna falsedad.
El segundo teorema de la incompletitud afirma que ningún sistema consistente puede ser usado para demostrarse a sí mismo, lo que es inquietante para los fundamentos de la matemática, puesto que, según éste nuevo teorema, si un sistema axiomático puede a partir de sí mismo demostrar que es consistente, entonces es inconsistente. Así, indirectamente se ha demostrado que nunca se podrá desarrollar un programa informático que cumpla con el requisito de demostrar si una aseveración cualquiera es verdadera o falsa.
Estos resultados son devastadores para el intento de formalización de Hilbert, quien había propuesto que la consistencia de los sistemas más complejos se podría probar en términos de sistemas más sencillos. Sin embargo, Minsky asegura que Gödel le había sostenido que sus teoremas no limitaban la capacidad cognoscente del hombre, porque los seres humanos no sólo son racionales sino que también poseen intuición, importante soporte para la búsqueda de la verdad por ser un conocimiento que se obtiene sin seguir un patrón racional y cuya formulación no puede ser racionalmente explicada. Se puede relacionar a la intuición con experiencias previas, pero no siempre es posible explicar el cómo y el porqué se llega a cierta conclusión valedera. Así, en la constitución del conocimiento hay una habilidad que transciende la razón pura, por lo tanto, la razón y la intuición, además de la imaginación y la inspiración, no mencionadas por Gödel, se complementan en la búsqueda de la verdad.
Para terminar, el Universo tiene un lenguaje en el que la Geometría es el código que utiliza como alfabeto. Sus huellas las encontramos en las ciencias, en las artes, en la arquitectura, en la música, en el lenguaje animal y humano, en la Cábala, en el ADN, en las retículas terrestres, en nuestro corazón, en la geología y, en general, en toda la Flor de la Vida. La Geometría estudia las proporciones y las medidas de la materia y la tierra, y su relación con el principio de auto sustentación. Se puede sostener, sin temor a equivocarse, que así como la Lógica no es más que la crítica del pensamiento, la Geometría es la crítica del espacio-tiempo.
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