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jueves, 29 de noviembre de 2018

Geometría e imaginación



La Geometría nace en los albores de la humanidad, pues el hombre primitivo clasifica los objetos que le rodean según sus formas, tarea abstracta que lo impulsa a acercarse a esta ciencia intuitivamente. La geometría tiene en Egipto un carácter práctico, ya que los funcionarios del faraón usan las fórmulas para calcular áreas y longitudes, conocen así la configuración de cada parcela y la reconstruyen luego de que el Nilo vuelve a su cause después de una inundación; también, determinan de antemano la producción para el cobro de los impuestos.

Fue en Grecia donde la geometría se convierte en el estudio del orden espacial por medio de la relación de las formas y se considera a los objetos como entes ideales, que pueden ser manipulados mentalmente o con la sola ayuda de la regla y el compás. Pitágoras convierte a la Geometría en el ideal de su doctrina, en la que el concepto de demostración es aceptado como única la vía para el establecimiento de la verdad. Su conocimiento fue considerado básico para acceder a etapas superiores del desarrollo del espíritu humano. Su aporte es fundamental, pues eleva el concepto de número a la categoría de elemento primigenio, lo que también se da en las ciencias actuales.

El teorema de Pitágoras genera la primera crisis de la matemática. Sucede que si se asigna el valor de uno a cada cateto de un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide raíz de dos, número que para los griegos no existe por ser inconmensurable. Llaman a estos números irracionales y los imaginan excepcionales. Veinticuatro siglos después, Cantor demuestra que los racionales son una parte insignificante de los irracionales.

Para Platón, la geometría y los números son la quinta esencia del lenguaje filosófico y el ideal simbólico de la verdad espiritual. Por eso inscribe a la entrada de su escuela Nadie entre aquí si no es geómetra ; a él mismo se le atribuye la frase de que Dios hace siempre Geometría. Cuando habla del dios geómetra, hace referencia al hijo de Zeus, Apolo, al que los griegos otorgan el dominio de las ciencias y las artes y en cuyo templo está grabada la inscripción: Gnothi séauton, o sea, conócete a ti mismo, que evoca al conocimiento adquirido por la vía de la Geometría.

En Grecia aparece también un problema de lógica pura: Para demostrar un resultado, denominado tesis, se parte de una o de varias hipótesis. La veracidad de la tesis depende de la validez del razonamiento con que se la obtiene y de la veracidad de las hipótesis. Entonces se debe partir de hipótesis ciertas para poder confirmar la tesis. Determinar la veracidad de la hipótesis exige considerarla como una tesis, cuya hipótesis se deberá comprobar también. Se entra así en un proceso sin fin en el que, a su vez, cada hipótesis se convierte en tesis a probar.

Euclides zanja esta dificultad al proponer un sistema en el que se acepta sin demostración la veracidad de ciertas hipótesis, a partir de las cuales se deduce la tesis. Su sistema se halla sintetizado en su obra cumbre “Los Elementos”, modelo axiomático deductivo que se basa en cinco postulados y definiciones precisas, que constituyen toda la geometría y la aritmética de entonces. Euclides sintetiza el método deductivo y esquematiza la Geometría del mundo antiguo y medieval.

A pesar de que veracidad del quinto postulado está fuera de toda duda, trae desde sus inicios el problema de si puede ser deducido de los otros cuatro. Durante los siguientes milenios, uno de los principales trabajos en la geometría va a consistir en determinar si el quinto postulado es dependiente de los otros cuatro o no, o sea si puede ser considerado un teorema deducible de los otros. Hasta la alta Edad Media en las escuelas y en las universidades se enseña “Los Elementos”, pero aunque nunca se logra deducir si el quinto postulado es o no dependiente de los otros cuatro, se le dan formulaciones equivalentes, una de estas formulaciones dice que por un punto fuera de una recta pasa una sola recta paralela a dicha recta.

Axioma es una palabra que en griego significa “lo que parece justo o evidente”, para los filósofos antiguos de Grecia era aquello que no necesita ser demostrado; entonces, si se razona con axiomas se puede revelar el resto del conocimiento humano. Para la matemática, un axioma es una expresión lógica utilizada para racionalmente llegar a una conclusión. Resta por saber si hay contradicciones que se deducen de un sistema de axiomas y si, por lo tanto, existen afirmaciones cuya veracidad o falsedad no pueden ser probada; de ser así, el sistema es inconsistente.

Gauss deduce una geometría no contradictoria en la que no se cumple el quinto postulado de Euclides, pero le asusta tanto el resultado que no lo publica. Posteriormente, Lobachevsky y Bolyai dan a conocer al mundo, de manera simultánea e independiente, una geometría con cinco postulados idénticos a los de Euclides, excepto el quinto. Lobachevsky sostiene que por un punto, que no pertenece a una recta, pasan por lo menos dos rectas paralelas a la recta dada, intenta así llegar a una contradicción sobre el quinto postulado, al que niega y sustituye por otro aparentemente absurdo, lo que, aunque parezca falso, es válido desde el punto de vista de la lógica formal. Para su asombro obtiene una nueva geometría que es verdadera si es verdadera la de Euclides. Para negar el quinto postulado, Riemann sostiene que por un punto que no pertenece a una recta no pasa ni una recta paralela a la misma, lo que, aunque parezca falso, es válido desde el punto de vista de la lógica formal; asimismo, su geometría es verdadera si es verdadera la de Euclides.

Las tres geometrías, la de Lobachevsky, Riemann y Euclides, se diferencian sólo por la curvatura de Gauss de una superficie, que puede ser negativa, positiva o cero, respectivamente. En el primer caso, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor que 180 grados, en el segundo es mayor a 180 grados y en el tercero es igual a 180 grados. En la geometría de Riemann esto es fácil de observar, pues si nos situamos en el ecuador, donde dos paralelos caen perpendicularmente al meridiano ecuatorial, si a la suma de dos ángulos rectos, que es 180 grados, si se le agrega el valor del ángulo que los dos paralelos forman en el polo, el resultado da un valor mayor que 180 grados, para cualquier triángulo así formado.

El 10 de junio de 1854, Riemann dicta una conferencia en la Universidad de Gotinga. El tema es: “Sobre las hipótesis que están en los fundamentos de la geometría”. Su contenido constituye uno de los mayores logros científicos de la humanidad. De los presentes sólo su antiguo profesor, Gauss, escucha entusiasmado porque tal vez es el único que lo comprende.

En su conferencia generaliza el concepto de superficie para cualquier número de dimensiones, demuestra que la geodésica es la curva que minimiza la distancia entre dos puntos sobre cualquier superficie, es decir, un concepto análogo al de la recta en el plano, donde la línea recta minimiza la distancia entre dos puntos. Como ya se dijo, encuentra que hay superficies en las que los triángulos formados por geodésicas suman más de ciento ochenta grados y otras, en las que suman menos, lo que contradice al quinto postulado de Euclides y a la intuición humana.

Según Riemann, es la métrica del espacio, o sea la manera con que se mide la distancia que separa a dos puntos, lo que determina la geometría del espacio. Por ejemplo, el plano no es por sí mismo el plano euclidiano sino que con una métrica se cumple el quinto postulado, pero, con otra métrica, como la de Lobachevsky, no se verifica dicho postulado. Debe transcurrir más de medio siglo para que en 1915 sus ideas sean aplicadas por Einstein para crear la Teoría General de la Relatividad.

En 1872, Felix Klein publica El Programa de Erlangen, que se considera una gran revolución de la geometría y, en general, de la matemática, porque da una nueva definición de geometría. En este programa de investigación Klein descubre que la geometría euclidiana y las no euclidianas son casos particulares de la geometría proyectiva y que la geometría euclidiana es consistente, o no contradictoria, si y sólo si son consistentes las geometrías no euclidianas. Esta memoria, la Conferencia de Riemann y los Elementos de Euclides son los puntos más esenciales de la geometría.

El Programa de Erlangen es bastante sencillo y trata de dar una definición formal sobre qué es geometría, más allá de la idea intuitiva que sobre ella se tenga. La pregunta es lógica pues por haber tantas geometrías no se sabe lo que son, sólo está claro que no se trata del estudio de puntos, rectas, circunferencias y planos. Klein da la respuesta a esta pregunta introduciendo en la geometría el concepto de grupo, o sea un conjunto en el que está definida una operación y sus reglas. Descubre que la geometría es el estudio de las propiedades invariantes, o sea que no cambian al aplicarles una transformación de tipo grupal. Las transformaciones que permanecen invariantes deben tener estructura de grupo para la operación de composición, o sea, para la aplicación sucesiva de la misma transformación al resultado de la primera. Así descubre, por ejemplo, que la geometría euclidiana es el estudio de los invariantes mediante el grupo de los movimientos rígidos (como son las simetrías, los giros y las traslaciones paralelas). El descubrimiento de Klein es fundamental ya que permite clasificar a las geometrías y comprender cuál es la estructura general de cada una de ellas. Klein consagra a la geometría proyectiva como la reina de las geometrías. Con él, una ciencia fue capaz de definirse a sí misma de manera rigurosa, por lo que su pensamiento constituye el punto culminante del intelecto humano.

En 1920, Hilbert propuso investigar si la matemática puede enunciarse sobre razones sólidamente lógicas, si toda la ciencia deviene de un conjunto finito de axiomas escogidos correctamente y si se puede probar que este sistema es consistente, o sea que con sus reglas no se puede demostrar al mismo tiempo la verdad y la falsedad de una proposición formulada con toda precisión. Pretendía, así, crear un sistema matemático formal completo y consistente; de cumplirse con este objetivo, cualquier problema bien planteado podría ser resuelto mediante la razón.

Gödel, en contra de esta idea, obtuvo en 1931 el Teorema de la Incompletitud y demostró que incluso la aritmética, sólo mediante sus propios axiomas, no se podía demostrar a la vez que es consistente y completa; por lo tanto, no se podía demostrar la consistencia de ningún otro sistema más complejo que la contuviera; de esta manera, demostró que era indemostrable la completitud de un sistema que incluya la aritmética.

Según Gödel, un sistema axiomático, por definido y consistente que sea, posee serias limitaciones y siempre habrá en él una proposición verdadera P no demostrable; además, si la misma pudiera ser demostrada, el sistema sería contradictorio. Por ejemplo, si se afirmara que esta sentencia no puede ser demostrada, entonces el sistema formal donde se la pudiera demostrar sería inconsistente porque demostraría una sentencia que ella misma afirma que no puede ser demostrada, lo que es contradictorio. Si una sentencia no se puede probar dentro de un sistema formal, entonces lo que ella afirma es verdadero y, por tanto, la sentencia es consistente, pero como el sistema contiene una afirmación cierta, que no se puede probar, entonces el sistema es incompleto.

El teorema de Gödel demuestra que cualquier sistema es necesariamente incompleto y contiene afirmaciones que no se pueden refutar ni demostrar. Para ello, Gödel construyó una fórmula verdadera, que no podía ser demostrada; esto significa que todo sistema consistente no es completo. La existencia de un sistema incompleto no es sorprendente y simplemente significa que en él no se hallan todos los axiomas necesarios; pero éste no puede ser completado, pues cada vez que se añade un nuevo axioma, habrá por lo menos uno que haga falta; así, de esta manera, nunca se podrá encontrar un conjunto completo de axiomas. Consecuentemente, es imposible implementar el sistema formal planteado por Hilbert. Una versión posterior del teorema de Gödel indica que ningún sistema deductivo, en el que esté incluida la aritmética, puede ser a la vez consistente y completo. La incompletitud afecta a la lógica formal, que usa el formalismo para definir sus principios, pues nunca se podrá encontrar un sistema axiomático que sea capaz de demostrar todas las verdades matemáticas y ninguna falsedad.

El segundo teorema de la incompletitud afirma que ningún sistema consistente puede ser usado para demostrarse a sí mismo, lo que es inquietante para los fundamentos de la matemática, puesto que, según éste nuevo teorema, si un sistema axiomático puede a partir de sí mismo demostrar que es consistente, entonces es inconsistente. Así, indirectamente se ha demostrado que nunca se podrá desarrollar un programa informático que cumpla con el requisito de demostrar si una aseveración cualquiera es verdadera o falsa.

Estos resultados son devastadores para el intento de formalización de Hilbert, quien había propuesto que la consistencia de los sistemas más complejos se podría probar en términos de sistemas más sencillos. Sin embargo, Minsky asegura que Gödel le había sostenido que sus teoremas no limitaban la capacidad cognoscente del hombre, porque los seres humanos no sólo son racionales sino que también poseen intuición, importante soporte para la búsqueda de la verdad por ser un conocimiento que se obtiene sin seguir un patrón racional y cuya formulación no puede ser racionalmente explicada. Se puede relacionar a la intuición con experiencias previas, pero no siempre es posible explicar el cómo y el porqué se llega a cierta conclusión valedera. Así, en la constitución del conocimiento hay una habilidad que transciende la razón pura, por lo tanto, la razón y la intuición, además de la imaginación y la inspiración, no mencionadas por Gödel, se complementan en la búsqueda de la verdad.

Para terminar, el Universo tiene un lenguaje en el que la Geometría es el código que utiliza como alfabeto. Sus huellas las encontramos en las ciencias, en las artes, en la arquitectura, en la música, en el lenguaje animal y humano, en la Cábala, en el ADN, en las retículas terrestres, en nuestro corazón, en la geología y, en general, en toda la Flor de la Vida. La Geometría estudia las proporciones y las medidas de la materia y la tierra, y su relación con el principio de auto sustentación. Se puede sostener, sin temor a equivocarse, que así como la Lógica no es más que la crítica del pensamiento, la Geometría es la crítica del espacio-tiempo.

http://www.rebelion.org/noticia.php?id=249403

martes, 12 de junio de 2018

_- Johann Carl Friedrich Gauss, el niño prodigio que supo de todas las matemáticas. Su curiosidad y capacidad de aprendizaje le permitieron realizar también grandes contribuciones a la astronomía, la óptica, la electricidad, el magnetismo, la estadística y la topografía.

_- El genio hecho a sí mismo. Johann Carl Friedrich Gauss fue un niño prodigio que nació en una familia humilde y de padres analfabetos pero que fue autodidacta para aprender a leer y llegar a ser conocido como “el príncipe de los matemáticos” y reconocido por sus coetáneos como el “matemático más grande desde la antigüedad”. Así de simple es la definición de Carl Friedrich Gauss, que comparte el olimpo de los elegidos en las ciencias con Arquímedes, Newton, Euler… y pocos más.

Gauss fue matemático, astrónomo, geodesta y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de los números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica.

Su influencia fue notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia y sus teorías continúan vigentes en la actualidad. De hecho, fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos y posiblemente la teoría de números sea la rama de las matemáticas en la que la influencia ejercida por Gauss haya sido mayor, aunque ni mucho menos la única.

Su nombre completo es Johann Carl Friedrich Gauss y nació un 30 de abril de 1777 en Brunswick, Alemania. La prodigiosidad de Gauss en su niñez, en lo que se refiere a las matemáticas en general, y al cálculo en particular, quedó patente a los 3 años cuando corrigió a su padre una operación que estaba realizando relacionada con pagos de salarios a los trabajadores que tenía a su cargo. Sin embargo, la anécdota más conocida de su infancia ocurrió en el colegio cuando tenía 7 años. El profesor castigó a toda la clase con sumar todos los números naturales desde el 1 hasta el 100 y casi de forma instantánea Gauss tenía la respuesta correcta: 5.050.

Los profesores de Gauss vieron en él un don para las matemáticas, así que hablaron con sus padres para que recibiera clases complementarias. Cuando apenas tenía 10 años Johann Carl Friedrich Gauss ya había descubierto dos métodos para calcular raíces cuadradas de números de 50 cifras decimales y hasta encontró pequeños errores en tablas logarítmicas que cayeron en sus manos.

Fue recomendado al duque de Brunswick por sus profesores y éste le subvencionó sus estudios secundarios y universitarios. Con 11 años ingresó en la escuela secundaria, donde aprendió, sobre todo, cultura clásica. No descuidó, sin embargo, su formación matemática, que continuó con clases particulares y la lectura de libros. Allí conoció al matemático Martin Bartels, que fue su profesor. Ambos estudiaron juntos, se apoyaron y se ayudaron para descifrar y entender los manuales que tenían sobre álgebra y análisis elemental.

A pesar de su juventud, Johann Carl Friedrich Gauss ya había descubierto la ley de los mínimos cuadrados, lo que indica su temprano interés por la teoría de errores de observación y su distribución. A los 17 tuvo sus primeras ideas intuitivas sobre la posibilidad de otro tipo de geometría y a los 18 años dedicó sus esfuerzos a completar lo que, a su juicio, habían dejado sin concluir sus predecesores en materia de teoría de números. Así, descubrió su pasión por la aritmética, área en la que poco después tuvo sus primeros éxitos. Su gusto por la aritmética prevaleció por toda su vida, ya que para él “la matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las matemáticas”.

Nadie dudaba de que Gauss en ese momento ya tenía suficientes conocimientos como para haberse graduado, así que en 1795 dejó el centro habiendo hecho tantas matemáticas como para terminar una carrera, pero lo hizo para ingresar en la Universidad de Göttingen, posiblemente por la gran biblioteca matemática que poseía.

Su primer gran resultado en 1796 fue la demostración de que se puede construir un heptadecágono, un polígono regular de 17 lados, con regla y compás en el sentido clásico de este tipo de construcciones. En solo seis meses, Gauss resolvió un problema que matemáticos habían intentado solucionar durante 2.000 años. Los antiguos griegos habían demostrado que los polígonos regulares de 3, 5 y 15 lados pueden construirse utilizando solo una regla y una compás, pero no han podido descubrir más formas de este tipo. Pero Gauss fue incluso más allá del heptadecágono. Descubrió una fórmula matemática para encontrar todos los polígonos regulares que pueden construirse usando solamente regla y compás, y encontró 31. Gauss estaba tan orgulloso de la demostración de este resultado que decidió estudiar Matemáticas.

Como anécdota, Johann Carl Friedrich Gauss mantuvo un diario de sus descubrimientos, comenzando con el heptadecágono. El diario, que enumera 146 descubrimientos, estuvo perdido durante más de 40 años después de su muerte.

Estando todavía en la universidad Gauss realizó otros importantes descubrimientos, entre los que destacan la aritmética modular, que sirvió para unificar la teoría de números; la ley de reciprocidad cuadrática, enunciada pero no demostrada completamente por Legendre unos años antes, y también que todo número entero positivo puede expresarse como suma de como mucho tres números triangulares.

Dos años tan intensos en Göttingen le bastaron para darse cuenta de que ya nadie podía hacerle avanzar allí, por lo que regresó a su casa en Brunswick para escribir su tesis doctoral. Una investigación que presentó en 1799 y que versó sobre el teorema fundamental del álgebra, que establece que toda ecuación algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas.

En 1801 Gauss publicó las Disquisiciones aritméticas, una obra destinada a influir de forma decisiva en la conformación de las matemáticas y en especial en el ámbito de la teoría de números. En esa obra destacan los siguientes hallazgos: la primera prueba de la ley de la reciprocidad cuadrática; una solución algebraica al problema de cómo determinar si un polígono regular de ‘n’ lados puede ser construido de manera geométrica; un tratamiento exhaustivo de la teoría de los números congruentes; y numerosos resultados con números y funciones de variable compleja que marcaron el punto de partida de la moderna teoría de los números algebraicos.

Cuando fue capaz de predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide ‘Ceres’, avistado por primera vez pocos meses antes, su fama creció de forma exponencial. Para lograrlo empleó el método de los mínimos cuadrados que él mismo desarrolló en 1794 y que en la actualidad continúa siendo la base computacional de estimación astronómica.

En 1807 aceptó el puesto de profesor de Astronomía en el Observatorio de Göttingen, cargo en el que permaneció durante el resto de su vida. Tal vez lo hizo porque un año antes falleció el duque de Brunswick y con él también acabó el apoyo financiero a Gauss. El científico tomó su nuevo trabajo de astronomía en serio, utilizando regularmente su telescopio para observar el cielo nocturno, e hizo varias mejoras prácticas a los instrumentos astronómicos y supervisó la construcción de un nuevo observatorio.

En esos años Johann Carl Friedrich Gauss maduró sus ideas sobre la construcción de una geometría lógicamente coherente que prescindiera del postulado de Euclides de las paralelas y con la que se adelantó en más de treinta años a los trabajos posteriores de Lobachevskiy y Bolyai.

En esos años, su esposa, con quien había contraído matrimonio en 1805, falleció al dar a luz a su tercer hijo; y más tarde se casó en segundas nupcias y tuvo tres hijos más.

En 1820, ocupado en la determinación matemática de la forma y el tamaño del globo terráqueo, Gauss desarrolló numerosas herramientas para el tratamiento de los datos observacionales. Entre ellas destaca la curva de distribución de errores que lleva su nombre, conocida también con el apelativo de distribución normal y que constituye uno de los pilares de la estadística.

Otros resultados relacionados con su interés por la geodesia son la invención del heliotropo, y, en el campo de la matemática pura, sus ideas sobre el estudio de las características de las superficies curvas que, desarrolladas en su obra Disquisitiones generales circa superficies curvas (1828), sentaron las bases de la moderna geometría diferencial.

También prestó atención al fenómeno del magnetismo, que culminó con la instalación del primer telégrafo eléctrico (1833). En 1835 Gauss formuló la ley o teorema de Gauss. Esta ley fue una de sus contribuciones más importantes en el campo del electromagnetismo, y de ella derivarían dos de las cuatro ecuaciones de Maxwell.

Otras áreas de la física que Gauss estudió fueron la mecánica, la acústica, la capilaridad y, muy especialmente, la óptica, sobre la que publicó el tratado Investigaciones dióptricas (1841), en las que demostró que un sistema de lentes cualquiera es siempre reducible a una sola lente con las características adecuadas.

Posiblemente fue la última aportación fundamental de Johann Carl Friedrich Gauss, un científico cuya profundidad de análisis, amplitud de intereses y rigor de tratamiento le merecieron en vida el apelativo de “príncipe de los matemáticos” y que fue tan reconocido que los últimos billetes de 10 marcos en Alemania, antes de la entrada del euro tenían su efigie.

Gauss fue un perfeccionista, hasta el punto de que solo publicó obras que creía eran perfectas. Muchos de los avances significativos que descubrió permanecieron inéditos hasta después de su muerte, como bastante oculta fue siempre su capacidad docente, al pensar que los alumnos no estaban lo suficientemente preparados, si bien hasta eso cambió a lo largo de su vida y se convirtió en un imán de talentos en la universidad de Göttingen, ciudad en la que falleció mientras dormía el 23 de febrero de 1855. Tenía 77 años.

Fue enterrado en el cementerio Albanifriedhof de Göttingen, cerca de la universidad. En sus últimos años, Gauss seguía estando tan orgulloso de su logro juvenil del heptadecágono que pidió que fuera tallado en su lápida, al igual que Arquímedes tenía una esfera dentro de un cilindro tallado en el suyo. Por desgracia, su deseo no se cumplió, ya que el cantero dijo que sería demasiado difícil esculpir un heptadecágono que no se pareciera a un círculo.

Carl Friedrich Gauss fue un hombre bondadoso, que odiaba viajar y que solo dejó Göttingen una vez en 48 años para asistir a una conferencia en Berlín. Era un apasionado de la literatura y de la recopilación de datos, con una biblioteca personal provista de 6.000 libros escritos en los idiomas que había dominado incluyendo danés, inglés, francés, griego, latín, ruso y su alemán nativo.

https://elpais.com/elpais/2018/04/30/ciencia/1525069233_387473.html