Paul Cohen, el matemático que por resolver un problema terminó creando dos mundos

En 1900, en un salón de conferencias de la histórica universidad parisina Sorbona, un alemán llamado David Hilbert le puso a los asistentes la tarea de matemáticas probablemente más difícil de la historia.

No eran, como suelen ser, ejercicios para aprender; eran preguntas que no tenían respuesta. Aún.

Hilbert era uno de los ponentes del Congreso Internacional de Matemáticos y la tarea era una lista de los que consideraba como los 23 problemas más importantes por solucionar.

La legendaria lista, conocida como "los problemas de Hilbert", definió las matemáticas de la era moderna.

Muchos se han resuelto, otros no, pero tanto los intentos exitosos como los fallidos han llevado al desarrollo de matemáticas muy profundas a lo largo del camino.

Encabezando la lista estaba una duda que había dejado en el aire una de las mentes más geniales de la historia: la de Greog Cantor, el matemático que se propuso conquistar el infinito.

Su inclusión era controvertida, pues muchos en esa época rechazaban los abstractos mundos que Cantor les estaba mostrando.

Hilbert, sin embargo, era uno de los que lo apoyaban.

Cantor fue la primera persona en comprender realmente el significado del infinito y darle precisión matemática.

Antes de él, el infinito era un concepto complicado y resbaladizo que realmente no parecía ir a ninguna parte.

Cantor mostró que el infinito se podía entender perfectamente y que, de hecho, no había un sólo infinito sino muchos.

Georg Cantor, el matemático que descubrió que hay muchos infinitos y no todos son del mismo tamaño Probó que el infinito de los números enteros (1, 2, 3, 4...) era más pequeño que el de los decimales infinitos (0,0000149000...; 0,179249239...).

Así, abrió la puerta a un inmenso y desconcertante territorio por explorar en el que se contaban infinitos.

Y Cantor lo exploró sin tregua, resolviendo muchos interrogantes en el camino.

Pero hubo uno que no pudo solucionar por más que lo intentó, aquel que llegó a conocerse como la hipótesis del continuo.

¿Habrá un infinito entre el más pequeño de los números enteros y el más grande de los decimales?

Esa era la primera pregunta de la tarea que Hilbert le puso a sus colegas ese día de 1900 en la Sorbona.

Depende... Cinco décadas más tarde, en Estados Unidos, un adolescente decidió enfrentarse a algunos de los principales problemas de las matemáticas.

A lo largo de su adolescencia fue considerado un prodigio matemático, asombrando a quienes le rodeaban por las habilidades que mostraba en los concursos de matemáticas.

Desde muy pequeño, Paul Cohen había ganado concursos y premios matemáticos, pero al principio le resultó difícil descubrir un campo en las matemáticas en el que realmente pudiera dejar su huella... hasta que leyó sobre la hipótesis del continuo de Cantor.

Hasta entonces, todos los intentos por resolver el problema, incluido el del mismo Hilbert, habían fracasado.

El único que había logrado rozar la línea final era el lógico, matemático y filósofo austríaco Kurt Gödel, miembro del Instituto de Estudios Avanzados (IEA) en Princeton.
Con el arrojo de la juventud, Paul Cohen, de 22 años, decidió que podía hacerlo.

Un año después, reapareció con un extraordinario descubrimiento.

¿Había un infinito más grande que el conjunto de todos los números enteros pero más pequeño que el conjunto de los decimales?

Sin duda, había un infinito más grande que el otro pero, ¿habría otro entre ellos?
Sí.
Y...
No.

Las dos respuestas podían ser verdaderas.
¿¡Cómo así!? La hipótesis del continuo decía que no había un infinito en medio de esos dos infinitos.

Cohen mostró que había una matemática en la que la hipótesis podía asumirse como cierta.

Pero había otra forma de matemáticas igualmente consistente en la que esa misma hipótesis podía asumirse como falsa: en ese ámbito había un conjunto infinito entre el de los enteros y el de los decimales.

Era una solución increíblemente atrevida y la demostración ofrecida por Cohen parecía cierta y correcta, pero su método era tan nuevo que nadie estaba absolutamente seguro.

Sólo había una persona en cuya opinión todos confiaban: la de Gödel.

Gödel no había logrado demostrar que la hipótesis del continuo era realmente cierta, pero sí que era consistente, lo que significa que con los métodos matemáticos con los que se contaba, no se podía probar que fuera falsa.

Había recorrido un largo camino y logrado llegar a la puerta tras la cual estaba la solución. Y aunque no había podido abrirla, era él quien le podía confirmar a Cohen que, efectivamente, había logrado lo que se había propuesto.

Marcus du Sautoy: "La fórmula para el infinito es simple: +1"
Sello de aprobación
Gödel comprobó la prueba y la declaró correcta.

"Acabas de lograr el progreso más importante en la teoría de conjuntos desde su axiomatización", le escribió a Cohen en una carta. "Tu prueba es la mejor posible", le escribió en otra. "Leerlo es como leer el libreto de una obra realmente buena".

Con el sello de aprobación de Gödel, todo cambió.

Hoy en día, los matemáticos insertan una declaración que indica si el resultado depende de la hipótesis del continuo.

Y es que se han construido dos mundos matemáticos diferentes en los que una respuesta es sí y la otra, no.

Ahora, para la pregunta de si Paul Cohen sacudió el universo matemático, la única respuesta es afirmativa.
* Parte de este artículo se basa en la serie de la BBC "The Story of Maths" con el matemático Marcus du Sautoy

Quién era Kurt Gödel, el hombre que caminaba con Albert Einstein (y al que comparan con Aristóteles)

Eran una pareja singular, por varios motivos.

El que llevaba su camisa arrugada, pantalones holgados sostenidos con suspensores y sus rebeldes rizos blancos, llevaba tiempo ya sorprendiendo a los residentes de Princeton, Estados Unidos, con sus largas caminatas -algo poco común en esa época por esos lares- durante las que a menudo se le veía disfrutando de un helado.
Se trataba nada menos que de Albert Einstein, quien ya para esa década de 1930 era el científico más famoso del mundo.

Pero ahora lo acompañaba un hombre más joven, con una vestimenta más tradicional, gruesas gafas y una expresión austera.

Aunque no tan famoso, era muy conocido, particularmente en los círculos académicos por haber "sacudido los fundamentos de nuestra entendimiento (…) de la mente humana", según declaró la Universidad de Princeton al otorgarle un doctorado honorario.

El acompañante de Einstein era el matemático austríaco Kurt Gödel, a menudo descrito como el más grande filósofo lógico desde Aristóteles.

Dos décadas y media
Ambos habían llegado a Princeton debido al Tercer Reich, uno por ser judío y el otro por escapar su destino como soldado del ejército nazi.

Ambos rechazaban la teoría cuántica, en contra de la corriente dominante.

Y ambos compartían una experiencia que los hacía verdaderamente excepcionales: habían cambiado nuestra percepción del mundo cuando tenían 25 años de edad.

Einstein con su brillante E=mc2 y Gödel con su descubrimiento de que nunca puedes estar seguro de que 1 no es igual a 0.
Y, mucho más, en ambos casos.

El señor "por qué"
Gödel había nacido en Austria en 1906, un año después de que Einstein probara que el tiempo, como hasta entonces había sido entendido, era ficción.

Su familia le dio el apodo de "señor por qué" y su inmensa curiosidad lo llevó a explorar desde lenguas y religiones hasta historia y matemáticas.

Fue esta última la que lo cautivó y para cuando, a los 18 años, llegó a la Universidad de Viena, ya sabía todo lo que sobre ella le podían enseñar en los cursos regulares.

Eventualmente, se interesó por la lógica matemática, "una ciencia anterior a todas las otras, que contiene las ideas y principios que subyacen a todas las ciencias", según dijo.

La revolución godeliana
Hasta el cambio del siglo pasado, la matemática ofrecía esa valiosa cualidad llamada certitud: era un mundo en el que todo era verdadero o falso, correcto o errado y si te aplicabas con tesón siempre podías llegar a descubrir cuál era cuál.

No obstante, cuando en 1900 el Congreso Internacional de Matemáticos se reunió en París el ambiente era de esperanza y pero también inseguridad.

Si bien la edificación de las matemáticas era grande y bellamente decorada, sus cimientos, llamados axiomas, habían sido sacudidos.

Su consistencia estaba siendo cuestionada y parecía que posiblemente eran paradójicos.

Pero durante el congreso, un joven llamado David Hilbert estableció un plan para reconstruir los fundamentos de las matemáticas, para hacerlos consistentes, abarcadores y libres de paradojas.

Hilbert era uno de los matemáticos más grandes que jamás haya existido, pero su plan fracasó espectacularmente debido a Kurt Gödel.

Con su tesis de doctorado, Gödel le puso punto final a ese sueño.
Demostró que había algunos problemas en las matemáticas que eran imposibles de resolver, que la brillante y clara llanura de las matemáticas era en realidad un laberinto repleto de potenciales paradojas.

Más puntualmente Probó que... en cualquier sistema formal axiomático consistente que pueda expresar hechos sobre aritmética básica hay enunciados verdaderos que no se pueden probar dentro del sistema y que la consistencia misma del sistema no puede ser probada dentro de ese sistema. Son los teoremas de la incompletitud y si te dejaron confundido, no estás sólo.

El mismo Russell admitió su confusión cuando se enteró.
"¿Debemos pensar que 2 + 2 no es 4 sino 4,001?", preguntó.

Hay más verdades que las que podemos probar
Quizás es cierto que "dar una explicación matemáticamente precisa de los teoremas sólo obscurece su importante contenido intuitivo para casi cualquier persona que no sea especialista en lógica matemática", como señaló el profesor emérito de Matemáticas del Harvey Mudd College Melvin Henriksen en la revista Scientific American.

Pero por suerte han habido varios intentos de poner en palabras sencillas los teoremas de la incompletitud para que todos comprendamos la inmensidad del logro de del "señor por qué".

Lo que Gödel hizo era usar matemáticas para probar que las matemáticas no podían probar todas en matemáticas.

Mostró que en cualquier sistema hay afirmaciones que son verdaderas pero que no se puede probar que lo son.

O, como lo expresó el escritor Thomas Pynchon en su novela "El arco iris de la gravedad", "cuando todo ha sido arreglado, cuando nada puede fallar o sorprendernos siquiera… algo lo hará".

El caso es que... Gödel cambió la forma en que entendemos qué es la matemática, y las implicaciones de su trabajo en física y filosofía nos llevan al límite de lo que podemos saber.

Los teoremas de la incompletitud revolucionaron las matemáticas e inspiraron a personas de la talla de John von Newman, quien creó la teoría del juego y Alan Turing, el creador del modelo de las computadoras que usamos.

Más tarde, resultaron invaluables para la ciencia de la informática, pues el reconocimiento de que hay cosas que no se pueden probar marcó un límite a lo que las computadoras pueden resolver, evitando la pérdida de tiempo tratando de hacer lo imposible.

Para algunos filósofos, los teoremas demuestran que la mente humana tiene una cualidad especial que no puede ser imitada por las computadoras: nosotros podemos entender que la "oración de Gödel es verdadera" pero las máquinas no.

Los teoremas han impactado otros campos del saber y muchos apuestan que seguirán haciéndolo, entre ellos el físico matemático y filósofo Roger Penrose, quien considera que podrían ayudarnos a descubrir una nueva física que devele el misterio de la conciencia.

Charlas y temores
Hacia finales de su carrera, cuando estaba semiretirado, Einstein le comentó a Oskar Morgenstern -uno de los cofundadores de la teoría del juego- que seguía yendo a su oficina sobre todo para tener el privilegio de caminar con Gödel, algo que hizo a menudo hasta su muerte en 1955.

Iban charlando desde y hacia el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, ese exclusivo club intelectual cuyos miembros tenían una sola tarea: pensar.

A eso se siguió dedicando Gödel, con la brillantez que lo caracterizaba. Pero algunos de esos pensamientos eran oscuros.

Siempre vivió atormentado por temores y uno de ellos era que lo envenenaran, por lo que se rehusaba a comer a menos de que su esposa Adele probara su comida primero.

Cuando ella se enfermó y tuvo que ser hospitalizada por un largo período, Gödel prácticamente dejó de alimentarse.
Por miedo a que lo mataran, murió de inanición, en 1978.

http://www.bbc.com/mundo/noticias-43568588